Групповая компактность Ли от образующих

Рассмотрим алгебру Пуанкаре , характеризующуюся следующими коммутаторами:

[ ЧАС , п я ] "=" 0 [ ЧАС , К я ] "=" п я [ п я , п Дж ] "=" 0 [ К я , К Дж ] "=" − ϵ я Дж к Дж к [ п я , К Дж ] "=" дельта я Дж ЧАС [ Дж я , Дж Дж ] "=" ϵ я Дж к Дж к [ Дж я , К Дж ] "=" ϵ я Дж к К к [ Дж я , п Дж ] "=" ϵ я Дж к п к [ Дж я , ЧАС ] "=" 0
Откуда я мог знать, используя только алгебру, что подгруппа, порожденная К я генераторы, компактен или нет? Существуют ли критерии установления компактности?

Мое понимание компактной группы связано с понятием ограниченных и связных множеств. Например, группа Лоренца состоит из четырех несвязных частей, поэтому это некомпактная группа.

Вычислил форму убийства ?
Подгруппы, порожденной K, не существует, потому что их алгебра не «замыкается».
Да, это правда. Но минимальная подгруппа, содержащая это К в качестве одной из образующих?
Я бы порекомендовал следующее: сравните форму Киллинга SO(3), сферы, с формой SO(2,1), гиперболоидом. Затем выбросьте H и P , чтобы придерживаться приведенной выше алгебры Лоренца (после исправления вашей ошибки в [K, K]). Свяжите его с SO(3,1) и наблюдайте гиперповерхность 5d, связанную с формой Киллинга.

Ответы (2)

Как намекает Космас Захос в комментариях, неабелева алгебра Ли принадлежит компактной группе Ли, если ее киллингова форма К ( Икс ; Д ) "=" т р ( а г Икс ∘ а г Д ) отрицательно определена, см. также компактная алгебра Ли , где вы можете найти полный список всех компактных алгебр Ли. Причина этого в том, что невырожденная форма Киллинга индуцирует связь Леви-Чивиты. ∇ Икс Д "=" 1 2 [ Икс , Д ] на группе Ли с кривизной Риччи − 1 4 К ( Икс , Д ) , который ограничен снизу, если форма Киллинга отрицательно определена и, следовательно, группа Ли компактна по Бонне-Майерсу . Заметим, что отрицательно-полуопределенная форма Киллинга, т. е. вырожденная, может принадлежать, а может и не принадлежать компактной группе Ли.

(Раз)связность не имеет к нему никакого отношения — группа Лоренца некомпактна и имеет четыре компоненты связности, но уже компонент единицы, собственная ортохронная группа Лоренца, некомпактна. Компактность и связность — разные и не связанные друг с другом топологические свойства.

ACuriousMind уже дал хороший ответ. Здесь мы хотим подчеркнуть некоторые важные факты.

  1. Пусть дано н -мерная вещественная алгебра Ли

    (М1) г   "="   с п а н р { т а ∣ а "=" 1 , … , н } ,
    где 1
    (М2) [ т а , т б ]   "="   ф а б с ⏟ е р   т с .

  2. Предположим, что т а являются генераторами точного конечномерного линейного представления алгебры Ли, ср. Теорема Адо .

  3. Третья теорема Ли (точнее теорема Ли-Картана ) гарантирует существование соответствующей связной и односвязной группы Ли. г , такой, что его алгебра Ли есть г . В окрестности единицы группа Ли восстанавливается экспоненциальным отображением

    (М3) опыт ⁡ ( г )   ⊆   г .

  4. Если реальная алгебра Ли г полупрост , имеет разложение Картана

    (М4) г   "="   к + п .
    Затем К / Z г компактен и опыт ⁡ ( п ) некомпактный, см. Википедия .

  5. Чистая теория групп/алгебр Ли не вводит понятие эрмитова сопряжения . Однако эта дополнительная структура часто присутствует в физике. Если т а "=" − т а † антиэрмитов, соответствует компактному направлению; в то время как если т а "=" т а † эрмитова, она соответствует некомпактному направлению.

--

1 Имейте в виду, что в большей части литературы по физике есть дополнительный множитель мнимой единицы я в разных местах, например

(P2) [ т а , т б ]   "="   я   ф а б с ⏟ е р   т с ,
и
(P3) опыт ⁡ ( я г )   ⊆   г .
В частности, если т а "=" т а † эрмитов, соответствует компактному направлению; в то время как если т а "=" − т а † антиэрмитов, он соответствует некомпактному направлению.

Групповая компактность Ли от образующих
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v