Ряд Тейлора для унитарного оператора в Вайнберге

На странице 54 КТП I Вайнберга он говорит, что элемент Т ( θ ) связной группы Ли можно представить унитарным оператором U ( Т ( θ ) ) действующий в физическом гильбертовом пространстве. Рядом с личностью он говорит, что

(2.2.17) U ( Т ( θ ) ) "=" 1 + я θ а т а + 1 2 θ а θ б т а б + … .

Затем Вайнберг заявляет, что т а , т а б , ... эрмитовы. я понимаю почему т а должно быть путем расширения на заказ О ( θ ) и призыв к унитарности. Однако, расширяясь до О ( θ 2 ) дает

(2) т а т б "=" 1 2 ( т а б + т а б † ) ,

поэтому кажется, что те же рассуждения не могут быть использованы, чтобы показать, что т а б является эрмитовым. Почему же тогда это?

Ответы (1)

  1. ОП получил хорошую оценку. В расширении

    (2.2.17) U ( Т ( θ ) )   "="   1 + я θ а т а + 1 2 θ а θ б т а б + О ( θ 3 ) , θ а е р , т а б   "="   т б а ,
    сразу не понятно если т а б является эрмитовым, как утверждает Вайнберг 1 . В уравнении (2.2.17) U является унитарным представлением группы Ли г , элементы которого Т ( θ ) е г параметризуются реальными параметрами θ а . Более подробно групповой продукт
    (2.2.15) Т ( θ ¯ ) Т ( θ )   "="   U ( ф ( θ ¯ , θ ) )
    захватывается реальными функциями
    (2.2.19) ф а ( θ ¯ , θ )   "="   θ а + θ ¯ а + ф а б с θ ¯ б θ с + … .
    Это ведет к
    (2.2.21) т б с   "="   − т б т с − я т а ф а б с .
    Симметричная комбинация это
    2 т б с   "="   − { т б , т с } + − я т а ( ф а б с + ф а с б ) ,
    так т б с является эрмитовым тогда и только тогда, когда последний член обращается в нуль, ср. (1') ниже.

  2. Последнее уравнение ОП. (2) не верно. Из уравнения (2.2.17), условие унитарности

    U † U   "="   1   "="   U U †
    уступает второму порядку θ что
    (1') т а †   "="   т а ,
    и
    (2') т а б † + т а б + { т а , т б } +   "="   0.

Использованная литература:

  1. С. Вайнберг, Квантовая теория полей, Vol. 1, 1995; экв. (2.2.17).

--

1 Можно предположить, что Вайнберг неявно предполагает, что Т ( − θ ) "=" Т ( θ ) − 1 так что U ( Т ( − θ ) ) "=" U ( Т ( θ ) ) † , из чего следует, что т а б действительно эрмитов.

Я понимаю, как вы получили: т а б † + т а б + { т а , т б } "=" 0 . Но ваш (II) неприменим к произвольной связной группе Ли (как к группе симметрии), верно? U "=" е я θ а т а только если ф ( θ , θ ′ ) "=" θ + θ ′ [обозначение, используемое Вайнбергом: групповое умножение произвольной связной группы Ли Т ( θ ) Т ( θ ′ ) "=" Т ( ф ( θ , θ ′ ) ) где Т ( θ ) е г ], как переводы в пространстве-времени. Следовательно, как вы обосновываете использование U "=" е я θ а т а показать, что генератор т а б является эрмитовым?
^ ф ( θ , θ ′ ) "=" θ + θ ′ ≡ ф а ( θ , θ ′ ) "=" θ а + θ ′ а ∀ а .
@Ajay Mohan: Спасибо. Хорошая точка зрения. Я обновил ответ.
Ряд Тейлора для унитарного оператора в Вайнберге
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v