Связь между античастицей и сопряженной Дираком? бар символ

Обозначение полосы необходимо для того, чтобы сделать все указанные выше величины лоренц-инвариантными. Короче говоря, связь между перемычкой и сопряженными зарядами фермионов имеет отношение к принятию эрмитова сопряжения операций создания/уничтожения.

Давайте пока сосредоточимся на свободной теории фермионов. Фермион Дирака можно записать как следующее решение уравнения Дирака

$$\psi(x) = \sum_{s \pm}\int\tilde{dp}\big[ a_s(\textbf{p})u_s(p)e^{ip\cdot x} + b_s^{\dagger}(\textbf{p})\nu_s(p)e^{-ip\cdot x}\big] \\ \bar{\psi}(x) = \sum_{s \pm}\int\tilde{dp}\big[ a^{\dagger}_s(\textbf{p})\bar{u}_s(p)e^{ip\cdot x} + b_s(\textbf{p})\bar{\nu}_s(p)e^{-ip\cdot x}\big]$$ где$\tilde{dp}$является лоренц-инвариантной мерой и$u_s(p)$и$\nu_s(p)$являются четырехкомпонентными спинорами $$u_s(p) = \begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot \sigma} \;\xi^s \\ \sqrt{p\cdot \bar{\sigma}} \;\xi^s \end{pmatrix};\; \nu_s(p) =\begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot \sigma} \;\eta^s \\ -\sqrt{p\cdot \bar{\sigma}} \;\eta^s \end{pmatrix};\; \overset{(-)}{\sigma_{\mu}} = (\mathbb{1}, \pm \vec{\sigma})$$ соответствующие фермионным и антифермионным спинорам.$a^{(\dagger)}_s(\textbf{p})$и$b^{(\dagger)}_s(\textbf{p})$являются операторами уничтожения (сотворения), которые могут действовать на Вакуум $$a_s(\textbf{p})|0\rangle = b_s(\textbf{p})|0\rangle = 0 \\ a^{\dagger}_s(\textbf{p})|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2E_{\textbf{p}}}}|\textbf{p},s\rangle_{\text{ferm}};\; b^{\dagger}_s(\textbf{p})|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2E_{\textbf{p}}}}|\textbf{p},s\rangle_{\text{anti-ferm}};$$ Зарядовое сопряжение — это симметрия, которая проявляется в некоторых теориях, представляющих феноменологический интерес (и в некоторых, не представляющих интереса). Следовательно, зарядовое сопряжение — это оператор, который коммутирует с этим гамильтонионом и, таким образом, является квантовым числом для состояний в гильбертовом пространстве.

Для общего состояния$\mathcal{C}|\phi\rangle = \eta_C|\phi^c\rangle$для некоторого поля$\phi(x)$. Следовательно, если мы хотим выполнить зарядовое сопряжение в каком-то состоянии, основываясь на том, как операторы создания действуют на вакуум, нам нужно следующее:

$$\mathcal{C}^{-1}a_s(\textbf{p})\mathcal{C} = b_s(\textbf{p})$$ и наоборот. Как оказалось, зарядово-сопряженный оператор фермионного поля Дирака равен $$\mathcal{C}^{-1}\psi(x)\mathcal{C} = \psi^c(x) = \eta_cC\bar{\psi}^T(x).$$ Отмечая следующее из Srednickie стр. 245 $$C\bar{u}_s(p)^T = \nu_s(p);\; C\bar{\nu}_s(p)^T = u_s(p)$$ один получает $$\psi^c(x) = \sum_{\pm}\int\tilde{dp}\big[ b_s(\textbf{p})u_s(p)e^{ip\cdot x} + a_s^{\dagger}(\textbf{p})\nu_s(p)e^{-ip\cdot x}\big].$$ Теперь оба$\bar{\psi}$и$\psi^c$являются разными полевыми операторами. Но подумайте о том, как оба оператора действуют на вакуум для этой теории свободных фермионов.

По крайней мере, я так это вижу. Когда люди говорят об антикварках или о чем-то в выражениях, которые выглядят как$\bar{u}(x)\gamma^{\mu}u(x)$, я просто рассматриваю это как «злоупотребление обозначениями», чтобы придать физический смысл количеству, на которое мы смотрим. В каком-то смысле они говорят о «перемычках» величин относительно того, как соответствующий свободный фермионный оператор действует на вакуум.

Надежность этого физического рассуждения зависит от надежности пертурбативного разложения некоторой взаимодействующей теории по свободным полям. Строго говоря, в сильно связанных теориях (или даже в чем-то вроде низкоэнергетической КЭД, если вы пурист) такой физический аргумент не имеет строгой основы.

Надеюсь, я ответил на ваш вопрос. Черт, надеюсь, я правильно понимаю. Именно так я всегда это понимал.