Построение лагранжиана Дирака без предположения об эрмитовых/антиэрмитовых γγ\gamma-матрицах

Дирак γ матрицы следуют алгебре Клиффорда:

{ γ мю , γ ν } "=" 2 η мю ν

Традиционное построение лагранжиана Дирака включает выбор основы γ матрицы, где γ мю является либо эрмитовым, либо антиэрмитовым в зависимости от метрики, и переходя к определению сопряженного Дирака ψ ¯ "=" ψ † γ 0 . Затем учебники продолжают показывать, что ψ ¯ ψ является скаляром Лоренца и т. д. и построить лагранжиан Дирака с «кинетическим» членом и массовым членом.

Можно ли построить лагранжиан Дирака БЕЗ использования эрмитовости γ матрицы? Насколько я вижу, С [ Λ ] матрица, заданная неэрмитовой γ матрицы является допустимым представлением группы Лоренца. Так почему же учебники прибегают к отшельничеству γ матрицы для построения лагранжиана?

л "=" я ψ ¯ ⧸ ∂ ψ − м ψ ¯ ψ

Если мы построим лагранжиан Дирака, не предполагая герметичность этих матриц, как мы теперь определим сопряженный Дирак?

Эрмитовость не зависит от базиса матрицы, не так ли?
@Charlie Думаю, я был довольно бесцеремонным, заявив, что мы используем «основу» γ матрицы... "представление" было бы лучшим словом для использования

Ответы (1)

Ответ - нет. Гамма-матрицы определяются алгеброй Клиффорда

{ γ мю , γ ν } "=" 2 η мю ν

Допустим, мы работаем в подписи с η мю ν "=" диаг ( − 1 , + 1 , + 1 , + 1 ) . У нас есть

( γ 0 ) 2 "=" − 1 , ( γ я ) 2 "=" 1
Эти уравнения говорят, что γ 0 имеет собственные значения ± я (отсюда антиэрмитовское), а γ я имеют собственные значения ± 1 (отсюда эрмитов).

Я вижу, что вы говорите о генераторах. 1 4 [ γ мю , γ ν ] быть важным объектом для определения представления, и что может быть пространство для выбора γ мю что оставляет коммутатор инвариантным. Но коммутатор работает как генератор группы Лоренца как следствие алгебры Клиффорда.

Редактировать

То, что я написал выше, неверно. На самом деле можно найти решения алгебры Клиффорда, которые не являются эрмитовыми. Вот набор решений, которые я нашел для 2 г Алгебра Клиффорда

γ 0 "=" я ( 1 А 0 − 1 ) , γ 1 "=" ( − 1 0 2 / А 1 )

Вы, вероятно, можете играть с 4 г случай, чтобы найти примеры, но это ускользает от меня в данный момент. Я думаю, что лучший ответ на вопрос, почему мы не используем такие гамма-матрицы, заключается в том, что они приводят к генераторам, которые не являются ни эрмитовыми, ни антиэрмитовыми. Обычно гораздо труднее сделать теорию унитарной, если представления, которые мы используем для любой группы симметрии, не являются унитарными представлениями. Используемые нами представления Лоренца не являются унитарными, но генераторы либо эрмитовы, либо антиэрмитовы (генераторы вращения и буста соответственно), и существует процедура, известная в просторечии как Вик-вращение, которая позволяет нам определить унитарную теорию в этом случай.

Почему γ я наличие собственного значения +1 означает, что оно эрмитово? Все, что он говорит, это то, что он имеет положительные собственные значения. я согласен с тем, что эрмитова матрица имеет действительные собственные значения, но только потому, что матрица имеет действительные собственные значения, она не обязательно должна быть эрмитовой.
Да, ты прав, это у меня вылетело из головы. Дайте мне немного подумать, и я отредактирую свой ответ.
@Harsha Я внес правку, чтобы исправить свой ответ.
Спасибо за ваш комментарий. Итак, я полагаю, что окончательный вывод заключается в том, что нет необходимости иметь отшельничество. γ матрицы, но только ли слишком много работы при нулевой пользе?
@Harsha Я думаю, что это хуже, чем «слишком много работы». Представления такого рода, ни эрмитовы, ни антиэрмитовы генераторы, не имеют очевидного способа согласования.
Спасибо за ваш ответ. Последовательны в каком смысле?
@Harsha, они не были бы унитарными.
Построение лагранжиана Дирака без предположения об эрмитовых/антиэрмитовых γγ\gamma-матрицах
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v