Имеет ли вакуум в КТП ненулевую энергию или нет?

Действительно, есть неряшливость в терминологии. Квантовую теорию обычно приспосабливают к тому, чтобы она подчинялась

$$P^\mu \lvert \Omega \rangle = 0$$ поскольку теория возмущений и формализм LSZ требуют, чтобы это работало должным образом.

Однако это еще не все. Если мы посмотрим на гамильтониан свободного скаляра, он изначально

$$H = \int \frac{\omega_p}{2} \left(a^\dagger(p) a(p) + a(-p)a^\dagger(-p)\right)\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}$$ после вставки модового расширения полей и использования канонических коммутационных соотношений несколько раз. Если мы формально продолжим использовать CCR для получения $a^\dagger a$форме, в которой он выглядит как (энергетически взвешенный) числовой оператор, мы получаем $$H = \int \omega_p a^\dagger(p)a(p)\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} + \frac{1}{2}\int\omega_p\delta_{3\text{D}}(\vec p - \vec p)\mathrm{d}^3 p$$ где последний объект, очевидно, довольно сильно расходится/плохо определен. Обычно просто отбрасывают эту часть, поскольку она «постоянна», а переопределение гамильтониана путем вычитания константы не меняет физику. Однако если применить это к $\lvert 0 \rangle$, вы обнаружите, что этот расходящийся кусок дает точное значение гамильтониана в вакууме.

Но есть хак, который мы можем попытаться понять в этом объекте: во-первых, отметим, что

$$\int_U\mathrm{e}^{\mathrm{i}\vec p \cdot \vec x}\mathrm{d}^3 x = (2\pi)^3\delta_{3\text{D}}(\vec p)$$ поэтому объем подмножества $U\subset \mathrm{R}^3$официально дается $$V(U) = \int_U\mathrm{d}^3 x = (2\pi)^3\delta_{3\text{D}}(0)$$ и мы видим, что расхождение может быть связано с $\mathbb{R}^3$просто бесконечность. В таких случаях обычно рекомендуется перейти к плотности : $$\epsilon_\text{vac}(U) := \frac{H \lvert 0 \rangle}{V(U)} = \frac{1}{2}\int \omega_p \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}$$ который все еще расходится, потому что $\omega_p = \sqrt{p^2+m^2}$и элемент объема $\mathrm{d}^3p$квадратичен в $\vert p \vert$поэтому интеграл $$\epsilon(\mathbb{R}^3) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^\infty\omega_p p^2\mathrm{d}p$$ все равно расходится. Ответ заключается в регуляризации интеграла с жестким обрезанием импульса. $\Lambda$, где сейчас $$\epsilon_\text{vac}(\Lambda) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^\Lambda\omega_p p^2\mathrm{d}p$$ конечно. Обратите внимание, что у нас также есть возможность классически добавить кусок $V_0(\Lambda)$к плотности гамильтониана - она ​​соответствует положению минимума классического потенциала для поля. В регуляризованной теории и при отсутствии гравитации мы вольны выбирать $V_0(\Lambda)$однако мы хотим, в частности, как $V_0(\Lambda) = -\epsilon_\text{vac}(\Lambda) + \chi$для некоторого конечного и независимого от обрезания $\chi$. Тогда мы можем снова убрать обрезание и все равно получить конечную энергию вакуума. $\Lambda$. В частности, мы можем выбрать $\chi = 0$, дает правильный рецепт формализма LSZ.

Однако в присутствии гравитации нуль классического потенциала не является произвольным, поэтому для КТП, связанной с гравитацией,$\chi$становится измеримой наблюдаемой , что означает, что математическое ожидание энергии вакуума становится ненулевым. Вместо этого он становится экспериментальным вкладом в теорию.

Вышеизложенное — просто длинный и явный способ заявить, что «0-точечная функция» КТП должна быть перенормирована (на языке диаграмм Фейнмана мы должны вручную избавиться от диаграмм вакуумного пузыря, которые являются диаграммами без внешние ноги), а параметр пертурбативной перенормировки нам нужно зафиксировать для того, чтобы это была именно энергия (плотность) вакуума.