Преобразование Лоренца лестничных операторов

Здравствуйте, я новичок в QFT. У меня есть несколько вопросов о поведении операторов импульсной лестницы при преобразовании Лоренца.

Для простоты рассмотрим лестничные операторы импульса реального скалярного синглета ф . Мы знаем, что лестничные операторы а п преобразовать в соответствии с

U ( Λ ) а п † U − 1 ( Λ ) "=" а Λ п † ,
где U ( Λ ) это унитарный оператор, представляющий данное преобразование Лоренца Λ (например , Пескин стр.59 ).

Я попытался вывести это тождество следующим образом. Рассмотрим типичную ситуацию в специальной теории относительности. Алиса имеет набор координат инерции Икс , у Боба другой набор координат инерции Икс ′ "=" Λ Икс . Если наблюдается, что классическая частица имеет импульс п в системе Алисы будет наблюдаться импульс Λ п Боб. В квантовой механике Алиса наблюдает, как частица находится в состоянии | п ⟩ в то время как Боб наблюдает, что частица находится в состоянии | Λ п ⟩ , а два одночастичных состояния связаны унитарным оператором U ( Λ ) представляющий данное преобразование Лоренца Λ . В итоге,

| Λ п ⟩ "=" U ( Λ ) | п ⟩ .
Затем это подразумевает
а Λ п † | 0 ⟩ "=" U ( Λ ) а п † | 0 ⟩ ,
где | 0 ⟩ с обеих сторон является основным состоянием теории свободного поля. Затем мы приходим к выводу, что
а Λ п † "=" U ( Λ ) а п † ,
в отличие от стандартного результата. Что-то не так в моих рассуждениях?

Я замечаю, что если мы предположим, что вакуум кет | 0 ⟩ быть лоренц-инвариантным, т.е.

U ( Λ ) | 0 ⟩ "=" | 0 ⟩ ,
тогда мы можем написать
а Λ п † | 0 ⟩ "=" U ( Λ ) а п † | 0 ⟩ "=" U ( Λ ) а п † U − 1 ( Λ ) U ( Λ ) | 0 ⟩ "=" U ( Λ ) а п † U − 1 ( Λ ) | 0 ⟩ .
Тогда стандартный результат
а Λ п † "=" U ( Λ ) а п U − 1 ( Λ )
восстанавливается. Верно ли предположение о лоренц-инвариантности вакуумного состояния теории свободного поля?

Я не совсем уверен, но я полагаю, что ответ заключается в том, что ваши рассуждения только доказывают, что а Λ п † "=" U ( Λ ) а п † при воздействии на вакуум | 0 ⟩ . Вообще говоря, А | 0 ⟩ "=" Б | 0 ⟩ не подразумевает А "=" Б (что очевидно, если вы думаете об этом с точки зрения обычных векторов). Причина, по которой операторы равны при воздействии на вакуум, как раз в том, что вы заметили: вакуум лоренц-инвариантен.

Ответы (2)

Вы более-менее ответили на свой вопрос. Да, действительно, вакуум должен быть лоренц-инвариантным, иначе лоренц-инвариантность спонтанно нарушилась бы.

Но похоже, что оператор, обратный оператору Лоренца, в любом случае можно отбросить (потому что он действует на состояние вакуума и не имеет значения), почему стандартные результаты беспокоят его сохранение?

Поскольку вы пытаетесь доказать свойства преобразования этих операторов, действуя на вакуум, я полагаю, что есть способ сделать вывод как об инвариантности вакуума, так и об отношении

а Λ п † "=" U ( Λ ) а п † U − 1 ( Λ ) ,
не предполагая априори, что любой из них выполняется. Вы можете сделать это следующим образом. Рассмотрим двухчастичное состояние | п → , д → ⟩ . Затем, используя тот факт, что
| Λ п ⟩ "=" U ( Λ ) | п ⟩ ,
получаем (по тем же рассуждениям, изложенным в вопросе)
U ( Λ ) а п → † а д → † | 0 ⟩ "=" а Λ п → † а Λ д → † | 0 ⟩ .
Представляем U − 1 ( Λ ) U ( Λ ) между двумя операторами в левой части получаем
[ U ( Λ ) а п → † U − 1 ( Λ ) ] U ( Λ ) а д → † | 0 ⟩ "=" а Λ п → † а Λ д → † | 0 ⟩ .
Теперь, чтобы все операторы создания преобразовывались одинаково, нам нужно ввести U − 1 ( Λ ) U ( Λ ) снова следующим образом
[ U ( Λ ) а п → † U − 1 ( Λ ) ] [ U ( Λ ) а д → † U − 1 ( Λ ) ] U ( Λ ) | 0 ⟩ "=" а Λ п → † а Λ д → † | 0 ⟩ .
Таким образом, единственный способ получить непротиворечивый результат (тот, который применим ко всем операторам создания), нам нужен
U ( Λ ) | 0 ⟩ "=" | 0 ⟩ ,
т.е. вакуум лоренц-инвариантен. Преобразование операторов — множителей по модулю, которые исходят из выбора лоренцевской ковариантной нормализации для одночастичных состояний — сразу следует как
U ( Λ ) а п → † U − 1 ( Λ ) "=" а Λ п → †
Чтобы получить правильный коэффициент Е Λ п → Е п → что Пескин ставит перед а Λ п → † , вы можете либо следовать тому же процессу, что и выше, либо просто предположить, что вакуум является лоренц-инвариантным (что имеет интуитивный смысл), и продолжить доказательство, но теперь использовать лоренц-ковариантную нормализацию
| п → ⟩ "=" 2 Е п → а п → † | 0 ⟩

Преобразование Лоренца лестничных операторов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v