Имея набор искривленных геодезических в двумерном пространстве, есть ли способ определить геометрическую форму указанного пространства?

Величина, которую вы хотите получить, — это метрика , которая полностью характеризует форму пространства (точнее, риманово многообразие). К сожалению, знание даже каждой геодезической на римановом многообразии не определяет однозначно метрику. См., например, это обсуждение: https://mathoverflow.net/questions/132244/can-one-recover-a-metric-from-geodesics .

Как поясняется там,$\mathbb{R}^4$с метрикой Евклида или Минковского дает один и тот же набор геодезических, а именно прямые линии, поэтому в общем случае невозможно получить метрику только из геодезических. Другие понятия формы, такие как тензор кривизны и секционная кривизна, определяются в терминах этой метрики.

Эта проблема представляет собой случай получения локальных свойств из глобальных . Метрика является локальной величиной; оно зависит только от выбранной точки многообразия и локальной окрестности вокруг нее. Геодезические, с другой стороны, соединяют точки многообразия, которые могут даже не лежать на одной и той же координатной карте , обращаясь к более крупной глобальной структуре многообразия.

Существует множество теорем, касающихся взаимосвязи между локальными и глобальными свойствами в римановой геометрии, ярким примером которых является теорема Хопфа-Риноу. Это говорит вам о том, что риманово многообразие является полным метрическим пространством тогда и только тогда, когда оно геодезически полно, то есть, если в любой точке вы можете продолжить геодезическую бесконечно далеко в любом направлении, метрика вашего пространства такова, что многообразие полный . Мы можем вывести несколько интересных свойств, подобных этому, но мы не можем полностью определить метрику из информации о геодезических.

Из набора геодезических, как и предыдущие ответы, можно частично определить форму пространства-времени. Однако, зная немного больше информации, метрика может быть полностью разграничена в окрестности каждой точки. Я думаю, это полезный расчет, потому что он показывает, как мы, наблюдатели внутри пространства-времени, можем определить его природу посредством экспериментов.

Аргумент представляет собой набросок того, что дано в разделе 3.2 в « Крупномасштабной структуре пространства-времени » Хокинга и Эллиса».

Учитывая нуль-векторы пространства-времени, функциональная форма метрики определяется локальной причинностью и материальным содержанием.

• Часть 1: Геодезические и отношение нулевого вектора

Рассмотрим наблюдателя в пространстве-времени в точке$p$. Наблюдатель может выбрасывать пробные частицы, которые будут двигаться под непространственноподобными геодезическими. Касательный вектор геодезической является элементом$T_p$. Бросание достаточного количества тестовых частиц по разным геодезическим (что эквивалентно знанию всех времяподобных геодезических, проходящих через$p$) мы можем определить нулевой конус.

Простыми словами, выбрасывая частицы из$p$и видя, какие точки многообразия могут быть достигнуты, можно определить нулевой конус как границу такой гиперповерхности.

• Часть 2: Нулевой конус определяет функциональную форму метрики с точностью до конформного множителя.

Считайте известными все векторы нулевого конуса, а также времяподобные векторы (т.е. мы можем различить, какие геодезические причинны в нашем пространстве-времени). Тогда каждый вектор пространства-времени, не равный нулю и не времяподобный, должен быть пространственноподобным.

Позволять$\mathbf{T}$быть времениподобным вектором, и$\mathbf{S}$пространственноподобный вектор. Тогда существуют два значения$\lambda\in\mathbb{R}-\{0\}$для которого$\mathbf{T}+\lambda\mathbf{S}$равно нулю, поэтому

Это многочлен от$\lambda$для которого корни$\lambda_1,\lambda_2$известны (поскольку мы знаем все векторы и их характер, мы можем определить для данной пары$\mathbf{T},\mathbf{S}$который$\lambda$делает$\mathbf{T}+\lambda\mathbf{S}$null), то верно, что:

Таким образом, зная нулевой конус, можно найти соотношение нормы времениподобного и пространственноподобного векторов.

Теперь пусть$\mathbf{W},\mathbf{Z}$два ненулевых вектора, тогда

Каждое из условий на RHS может быть связано с$\mathbf{g}(\mathbf{S},\mathbf{S})$используя различные значения$\lambda_1,\lambda_2$. Сор для каждой пары$\mathbf{W},\mathbf{Z}$, значение$\mathbf{g}(\mathbf{W},\mathbf{Z})$известно с точностью до множителя$\mathbf{g}(\mathbf{S},\mathbf{S})$.

• Часть 3: Содержание материала определяет коэффициент формы до измерительного калибра.

На данный момент у нас есть это$\mathbf{\hat{g}}=\Omega^2\mathbf{g}$где$\mathbf{g}$известен.

Пусть тензор энергии-импульса для материальных полей равен$T^{ab}$, удовлетворяющий$\nabla_aT^{ab}=0$. Поскольку пространство-время должно быть локально Минковским (эквивалентным нормальным координатам), существует окрестность$p$в котором мы можем определить «почти убивающие векторы», взяв убивающие векторы пространства-времени Минковского$K_a$. С$K_aT^{ab}$— сохраняющийся ток по Минковскому, он будет почти сохраняться и в нашей окрестности в том смысле, что первое приближение обращается в нуль. В частности, это означает, что сохранение энергии и импульса выполняется примерно в окрестности$p$.

Учитывая времяподобную геодезическую относительно метрики$\mathbf{g}$траектория частицы$\gamma(t)$с касательным вектором$\mathbf{K}=\partial_t$, геодезическое уравнение гласит:

С$\gamma$является геодезической относительно$\mathbf{g}$, первый член исчезает. Рассматривая другую кривую$\gamma^\prime$касательный вектор которого не параллелен$\mathbf{K}$ $\Omega$можно найти с точностью до постоянного множителя. Этот постоянный фактор соответствует произвольной нормализации (т.е. выбору меры времени).

Не уверен, что это именно то, что вы ищете, но теорема Синджа — классический результат в римановой геометрии, связывающий кривизну с топологией. При доказательстве теоремы по существу проводится анализ устойчивости замкнутых геодезических, который связывает свойства геодезических с кривизной многообразия. Это включает в себя второй вариант функционала длины дуги, который, что неудивительно, дает член, пропорциональный тензору кривизны. Изучая поведение замкнутых геодезических при малых вариациях, можно сделать выводы о глобальных свойствах пространства (т. е. его топологии). В качестве примера того, как это работает в связи с вашим непосредственным вопросом о поверхностях, рассмотрим замкнутые геодезические$S^2$. Это большие круги. Любую из этих геодезических можно уменьшить небольшим изменением, например, слегка сдвинув их к одному из полюсов. Повторяя этот процесс, можно сжать геодезическую в точку. Это явно связано с тем, что$S^2$просто подключен. Надеюсь, это помогло.