Имеют ли смысл состояния с бесконечной средней энергией?

Если принять частотную точку зрения , тот факт, что$\langle E\rangle$не существует просто означает, что если вы измеряете энергии$N$одинаково подготовленных систем и усреднить результаты, то это число не приближается к четко определенному пределу, поскольку$N\rightarrow \infty$.

Если спектр гамильтониана неограничен (как это очень часто бывает), то такие состояния должны существовать в гильбертовом пространстве, поэтому математически они безусловно появляются . Лично я тоже не нахожу в них ничего обязательно нефизического;$\langle E\rangle \rightarrow \infty$не означает, что любое измерение в результате возвращает бесконечность, а скорее то, что увеличение количества измерений имеет тенденцию к увеличению средней энергии.

Например, рассмотрим частицу в ящике длиной$a$с волновой функцией$\psi(x) = 1/\sqrt{a}$. Это соответствует тому, что положение частицы совершенно неизвестно (кроме того факта, что она находится в ящике). Если вы вычислите$\langle E\rangle$в этом состоянии вы обнаружите, что она расходится в бесконечность. Частица в коробке — это, конечно, математическая идеализация, но такова и любая модель, которую мы в конечном итоге используем, и, поскольку эта очень правдоподобно полезная модель, я не очень хочу ее сбрасывать со счетов.

Ваш пример сложнее, чем кажется, поскольку [$\psi$не удовлетворяет граничным условиям, связанным с областью$H$]

@ZeroTheHero поднимает отличный вопрос.$H$(область определения которого представляет собой дважды слабо дифференцируемые функции с краевыми условиями Дирхле) является самосопряженным (как и все гамильтонианы), но верно, что$\psi$У меня записано не в его домене. В этом отношении мы не можем писать$\langle E\rangle = \langle \psi,H\psi\rangle$просто потому, что правая часть незаконна!

Это не обязательно означает, что$\langle E \rangle$не определено, но это должно вызвать у нас подозрения. Правильно - расширять$\psi$в терминах нормированных собственных векторов$H$:

$$\psi = \sum_n c_n \phi_n \qquad H\phi_n = E_n\phi_n$$ что всегда можно сделать в силу самосопряженности$H$. Затем мы определяем$\langle E\rangle := \sum_n E_n |c_n|^2$. Легко видеть, что это совпадает с$\langle \psi,H\psi\rangle$когда$\psi\in\mathrm{dom}(H)$, но на самом деле является несколько более общим, и именно это вычисление расходится до бесконечности. Действительно, если мы наивно вычислим$\langle \psi,H\psi\rangle$дифференцируя$\psi$дважды получаем ноль.

Бесконечное математическое ожидание энергии возникает из-за того, что гармонический потенциал простирается до бесконечности. В результате можно бесконечно подниматься по лестнице состояний. Практически такого бесконечно высокого потенциала не может быть. После определенного уровня энергии не будет никаких связанных состояний, и у вас останутся только рассеянные состояния.

Так что противоречия нет, и такое неинтуитивное поведение является следствием нефизической природы потенциала. То же самое происходит с бесконечной потенциальной ямой, где первая производная волновой функции разрывна. Опять же теоретически нет противоречия, но физически неосуществимо.

Интерпретировать$\langle E \rangle = \infty$необходимо различать возможные значения, ожидаемое значение и наиболее вероятное значение энергии.

Все собственные значения$\{1,2,3,\dots\} =\mathbb N$гамильтониана являются возможными энергиями для состояния, которое вы предлагаете (с этим$m=1$конечно). Каждая отдельная собственная энергия является конечным числом , но высшей энергии нет, спектр неограничен сверху.

Это состояние, однако, имеет наименьшую энергию как наиболее вероятное, и вероятность уменьшается с увеличением энергии.

$$(p_1,p_2,p_3,\dots) = \frac{1}{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}} \left(\frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2},\frac{1}{3^2},\dots \right)$$ Таким образом, самые низкие энергии — это те, которые человек получает каждый день при измерении энергии в этом состоянии.

Теперь для ожидания (или среднего значения) это (в общем) не обязательно возможное значение или наиболее вероятное. Кроме того, распределение для этого состояния имеет неопределенно большое среднее значение (при$E_n = n$)

$$\langle E\rangle = \sum_{n=1}^\infty p_n E_n = \frac{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}} = \infty,$$ но то, что вы получаете при измерении, всегда является конечным числом в спектре. Все еще возможно (по крайней мере, в теории) случайно измерить столь высокую энергию, как вам нравится, если вы продолжаете измерять частицы в этом состоянии вечно , поскольку маловероятно, что эти низкие энергии будут получаться каждый день.