Что такое гамильтониан в «энергетической основе» простого гармонического осциллятора?

В моем учебнике сказано, что для простого гармонического осциллятора гамильтониан можно выразить в «энергетическом базисе» следующим образом:

ЧАС ^ "=" ℏ ю ( а ^ † а ^ + 1 2 ) .

я знаю это а ^ † и а ^ являются повышающими и понижающими операторами, и что они могут быть записаны в терминах п ^ Икс и Икс ^ , а как это "энергетическая" основа? Что это вообще значит?

собственные состояния а ^ † а ^ являются энергетическими собственными состояниями, т.е. имеют определенную энергию, если ЧАС ^ является гамильтонианом.
@ZeroTheHero Что ты имеешь в виду под "если ЧАС ^ является гамильтонианом"? ЧАС ^ всегда гамильтониан?
может я неправильно выразился. Я имел в виду, что ЧАС ^ не обязательно имеет форму, которую вы дали.

Ответы (3)

...как это "энергетическая" основа? Что это вообще значит?

Любой из наших наблюдаемых операторов в собственном базисе является диагональным, где диагональные элементы являются собственными значениями. *

Мы видим, что это правда. Позволять | ψ я ⟩ — собственный вектор такой, что ЧАС | ψ я ⟩ "=" Е я | ψ ⟩ . Тогда гамильтониан в собственном базисе равен:

[ ЧАС ] м , н "=" ⟨ ψ м | ЧАС | ψ н ⟩ "=" ⟨ ψ м | Е н | ψ н ⟩ "=" Е н ⟨ ψ м | ψ н ⟩

Поскольку собственные векторы ортонормированы:

[ ЧАС ] м , н "=" дельта м , н Е н

Это означает, что гамильтониан диагональен в собственном базисе.

Обратите внимание, как это не зависит от того, что ЧАС на самом деле есть. Если вы хотите работать с вашим конкретным примером (я оставлю работу вам):

⟨ ψ м | ℏ ю ( а † а + 1 2 ) | ψ н ⟩ "=" дельта м , н ℏ ю ( н + 1 2 ) "=" дельта м , н Е н

Следовательно, выражение, которое вы даете, должно быть гамильтонианом, это его собственный базис.

* Если рассматривать наши операторы как матрицы, в общем случае оператор в некотором базисе сообщает нам следующую информацию. Каждый столбец оператора сообщает нам, как соответствующий базисный вектор преобразуется при умножении на этот оператор. Следовательно, имеет смысл, что оператор в своем собственном базисе является диагональным, потому что собственные векторы являются базисными векторами, и результирующее преобразование каждого базисного вектора соответствует простому их умножению на соответствующее собственное значение.

Это энергетическая основа, потому что собственные состояния ЧАС ^ число возбужденных частиц в данном состоянии. Первый член в вашем уравнении также известен как н и представляет общее количество частиц в n-м состоянии.

Так, ЧАС ^ | н ⟩ "=" ℏ ю ( а ^ † а ^ + 1 2 ) | н ⟩ "=" ℏ ю ( н + 1 2 ) | н ⟩

Это хороший вопрос, потому что здесь происходит свободное использование терминологии. Если вам нужна строгая терминология, то действительно, когда мы пишем такой оператор, как а ^ † а ^ мы не приняли какой-либо конкретной основы, а просто записали оператор. Правильное употребление фразы «в энергетическом базисе» означало бы выписывание матричных элементов ⟨ Е н | ЧАС ^ | Е м ⟩ . Тогда у вас будет матрица, представляющая гамильтониан в основе { | Е н ⟩ } . Расплывчатая терминология здесь привлекает наше внимание к тому факту, что, манипулируя повышающими и понижающими операторами, можно узнать многое из того, что нам хотелось бы знать, например уровни энергии и влияние других операторов на собственные состояния энергии, без необходимости узнайте, как собственные состояния энергии могут быть записаны в терминах положения или какой-либо другой величины, такой как импульс.

Что такое гамильтониан в «энергетической основе» простого гармонического осциллятора?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v