Интеграл по путям в статистической физике и температурные производные

Меня интересует, как взять производные по отношению к$\beta$, статистической суммы.

Определив его обычным способом как$Z =\text{Tr} \, e^{- \beta H}$ясно, что человек получает

$\partial_\beta Z =- \text{Tr} ( H e^{- \beta H})$

В когерентном представлении интеграла пути состояния для одного поля статистическая сумма имеет вид

$Z = \int D(\Psi^*,\Psi) \exp\left\{ - \int_0^\beta d\tau \left( \Psi^* \partial_\tau \Psi + H(\Psi^*,\Psi) \right) \right\}$

С граничным условием$\Psi(0)= \pm \Psi(\beta)$.

Как производная относительно$\beta$выполнено в этом случае?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Позвольте мне уточнить мою проблему и показать вам, где моя проблема.

Основная путаница связана с представлением континуума.

Рассмотрим гармонический осциллятор и вычислим среднее значение гамильтониана. Мы видим из статистической механики, что мы можем получить это путем

$<H> = \frac{-1}{Z} \partial_\beta Z$

Действие для этого случая на основе когерентного состояния определяется следующим образом:

$S= \int_0^\beta d\tau \Psi^*(\tau)(\partial_\tau + \omega) \Psi(\tau) = \int_0^\beta d\tau \Psi^*(\tau) G^{-1}(\tau) \Psi(\tau)$

Помещая это в выражение для среднего значения гамильтониана и принимая производную только к экспоненте, а не к полученной мере

$\frac{1}{Z} \int D(\Psi^*,\Psi) \exp\left\{ - \int_0^\beta d\tau \left( \Psi^* G^{-1} \Psi \right) \right\} \partial_\beta \int_0^\beta d\tau \Psi^*(\tau) G^{-1}(\tau) \Psi(\tau)$ $= \frac{1}{Z} \int D(\Psi^*,\Psi) \exp\left\{ - \int_0^\beta d\tau \left( \Psi^* G^{-1} \Psi \right) \right\} \Psi^*(\beta) G^{-1}(\beta) \Psi(\beta)$

Единственными членами, которые не равны в числителе и знаменателе, являются члены в$\beta$. Поэтому они отменяются везде, кроме «кванта времени».$\beta$. Поэтому каждый получает

$= \frac{\int D(\Psi^*,\Psi)_\beta \exp\left\{ - \left( \Psi^* G^{-1} \Psi \right)(\beta) \right\} \Psi^*(\beta) G^{-1}(\beta) \Psi(\beta)}{\int D(\Psi^*,\Psi)_\beta \exp\left\{ - \left( \Psi^* G^{-1} \Psi \right) (\beta)\right\} } =1$

На последнем этапе выполняется интеграл Гаусса.

Этот результат неверен. Я могу воспроизвести правильный результат в версии интеграла по путям с временным разрезом, но я не вижу, как это работает в континуальном пределе.