Функции Грина в реальном и мнимом времени

В режиме реального времени можно вычислить двухточечную функцию данной теории, используя

г ( Икс → , т ) "=" ⟨ Ом | ф ( Икс → , т ) ф † ( 0 , 0 ) | Ом ⟩ "=" ∫ ф ( 0 , 0 ) ф ( Икс → , т ) Д ф   е − я ℏ С [ ф ] ф ( Икс → ′ , т ′ ) ф ( Икс → , т )

где пределы интеграла по путям должны совпадать с начальным и конечным состоянием.

С другой стороны, я знаю, что производящий функционал Z

Z "=" ⟨ ф ′ | е − я ЧАС Т | ф ⟩ "=" ∫ ф ф ′ е − я ℏ С [ ф ]

можно отождествить с квантовой статистической суммой Z если мы оцениваем мнимое время т "=" − я т и мы проследим начальное и конечное состояние

Z "=" ∑ ф ⟨ ф | е − β ЧАС | ф ⟩ "=" ∫ ф ( 0 ) "=" ф ( β ) е − β С Е [ ф ]

Таким образом, соотношение между квантово-механическими и термодинамическими математическими ожиданиями таково: т → − я т с периодом т е [ 0 , β ] , установить начальное и конечное состояния равными и просуммировать по ним. Теперь в каждой книге, которую я вижу, функция Грина в реальном времени

г ( Икс → , т ) "=" ⟨ Ом | ф ( Икс → , т ) ф † ( 0 , 0 ) | Ом ⟩

и функция Грина мнимого времени

г ( Икс → , т ) "=" 1 Z Тр [ е − β ЧАС ф ( Икс → , т ) ф † ( 0 , 0 ) ]

связаны

г ( Икс → , т ) "=" г ( Икс → , я т )

Это означает, что мы могли бы определить только одну функцию г ( Икс → , г ) с г е С которая равна функции Грина QM для реального г и равным термодинамическому среднему для мнимых г .

Мой вопрос следующий

В формализме интеграла Пути нам нужно было сделать несколько вещей, чтобы перейти от одного среднего значения к другому; нам нужно перейти к мнимому времени и нам нужно что-то сделать со следом. Однако в функциях Грина кажется, что достаточно перейти к мнимому времени, как будто о трассе заботятся автоматически. Как это так?

Итак, вопрос (v1) на самом деле касается только процедуры трассировки, а не вращения фитиля?
Вопрос в том, что в формализме интегралов по путям значения квантового среднего и термодинамические средние могут быть идентифицированы путем аналитического продолжения до мнимого времени И изменения граничных условий для интеграла по путям. Однако для функций Грина кажется, что достаточно только перехода к мнимому времени ... Если бы я выражал функции Грина как интегралы по траекториям, я не вижу, как фиксируются граничные условия.
Я понимаю, что для создания теории конечного температурного поля нужно перейти к евклидовой сигнатуре (вращению фитиля) и компактизировать направление времени, период которого дает обратную температуру β . Затем вычисляется статистическая сумма, и фитиль возвращается к реальному времени, вашему последнему уравнению. г ( Икс → , т ) "=" 1 Z Тр [ е − β ЧАС ф ( Икс → , т ) ф † ( 0 , 0 ) ] . После того, как вы повернете фитиль назад, вы ничего не сделаете с периодическим граничным условием, которое вы наложили, работая с мнимым временем.

Ответы (1)

@levitt почти дал правильный ответ в своем комментарии. Хотя, я думаю, ему следует также подчеркнуть то, что он, вероятно, неявно подразумевал в своем комментарии выше: равенство г ( Икс → , т ) "=" г ( Икс → , я т ) как написано в исходном вопросе, неверно (кроме опечатки, где аргумент г является т и не т ).

г ( Икс → , я т ) вычисляет корреляционную функцию в реальном времени в теории поля при конечной температуре, в то время как г ( Икс → , т ) (как написано в первом уравнении вопроса) вычисляет корреляционную функцию в реальном времени при нулевой температуре. Эти две корреляционные функции различны. Вы можете получить корреляционную функцию нулевой температуры, взяв лим β → ∞ г ( Икс → , я т ) . Это должно быть правдой, что г ( Икс → , т ) "=" лим β → ∞ г ( Икс → , я т ) .

Примечание. Все приведенные выше утверждения сделаны в предположении, что операторы последовательно упорядочены.

В последнем уравнении, которое вы написали, есть равенство? т.е. не связаны ли они поворотом Вика и, следовательно, не равны?
Ты имеешь ввиду г ( Икс → , т ) "=" лим β → ∞ г ( Икс → , я т ) ? Это точное утверждение. Поворот Вика выступает как воображаемый аргумент г .
Я понимаю. Значит, вращение фитиля работает только при бесконечной температуре, верно? Это значит г ( т + я дельта ) "=" г ( я т ) верно только тогда, когда интеграл от бесконечности до бесконечности, поскольку в этом случае мы предполагаем, что подынтегральная функция стремится к нулю достаточно быстро. При конечной температуре интеграл на мнимой оси является периодическим, поэтому вращение Вика невозможно.
Функции Грина в реальном и мнимом времени
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v