Интеграция радиального свободного падения в ньютоновской гравитации [дубликат]

Question

Интеграция радиального свободного падения в ньютоновской гравитации [дубликат]

Кам

Я думал, что это будет простой вопрос, но мне трудно понять его. Кстати, не домашнее задание. Я студент-физик и просто искренне интересуюсь физическими задачами, связанными с математикой, то есть всеми.

Итак, скажем, мы бросаем предмет с высоты, $R+r$ , он падает на землю. Эта высота, $R+r$ , находится достаточно далеко, чтобы $g$ он испытывает лишь часть $g$ на уровне моря. Скажем так, сопротивлением воздуха можно пренебречь, и было бы несложно просто интегрировать из $0$ скорость до конечной скорости кусочно, а с остальным разберитесь позже.

Таким образом, ключ здесь в том, что ускорение меняется со временем. Я подумал, что могу упростить это, сказав, что оно меняется с расстоянием и не имеет ничего общего со временем, но это не очень помогло, я предполагаю, что, возможно, время важно (дох).

Я попытался интегрировать ускорение со временем, но ничего не вышло. я пытался интегрировать $a=GM/R^2$ в отношении $R$ от $R+r$ к $R$ и получил отрицательную функцию.

Я где-то видел, что кто-то пытался расширить ряды Тейлора, у них даже есть что-то подобное по гиперфизике, но я не могу понять, как получить полиномы, которые предшествуют переменным.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/images/avari.gif

Это сайт гиперфизики, где они используют полиномы для нахождения расстояния. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/avari.html#c1

Может быть, я не могу решить это, потому что я еще не прошел курс дифференциальных уравнений. Я хочу знать, как рассчитать расстояние в любое время.

ДилитийМатрица

Было бы полезно, если бы вы показали некоторые из ваших работ и объяснили, что вы ищете.

Брэндон Энрайт

Поскольку сопротивления воздуха нет, требуется только интегрирование (а не дифференциальное уравнение). Нерелятивистское уравнение должно быть достаточно хорошим для большинства ситуаций.

Кам

Последнее уравнение, над которым я работал, было таким:

a = a_{0} + 2 / x^{3} = 1 / x^{2} + 2 / x^{3}

$a=a_0+2/x^3=1/x^2+2/x^3$ В общем, я отбросил гравитационную постоянную и массу Земли, чтобы упростить ситуацию. и в самом деле, даже это уравнение кажется мне неправильным, потому что интегрирование

1 / x^{2}

$1/x^2$ должен дать

- 2 / x^{3}

$-2/x^3$ . Но я подумал, что это будет глупо, я хочу добавить ускорение, а не убавить его.

Кам

Я понимаю, что правильный путь — следовать тому, что делает гиперфизика, которая расширяется в виде ряда Тейлора, потому что я видел, как кто-то другой делал это на этом сайте. Но я не знаю, как получить константы ряда. Вот почему я подумал, что мне нужно знать дифференциальные уравнения, потому что я смотрел несколько видео из Массачусетского технологического института и не знал, как решать граничные решения и тому подобное. Например, не должен ли я использовать ODE, где мы учитываем частоту, или что-то в этом роде. Я думаю, мой первоначальный вопрос был глупым.

Дэвид З.

Вы ищете это ? (тоже это )

Кам

Да, я пытаюсь пройти через ваши расчеты для первого шага. Насколько я понимаю, вы использовали вектор разделения r. Я понимаю, что вы установили F = ma, где a — двойная производная от r. Я смущен тем, как вы добрались до

G (m_{1} + m_{2})

$G(m_1+m_2)$ из предыдущих уравнений. Спасибо за информацию. Я буду продолжать читать, пока не выясню это.

Qмеханик

Привет Ками. См., например , Википедию . Кроме того, если вы еще этого не сделали, пожалуйста, найдите минутку, чтобы прочитать определение того, когда использовать тег домашнего задания , и политику Phys.SE для проблем, подобных домашним заданиям.

Ответы (3)

Интеграция радиального свободного падения в ньютоновской гравитации [дубликат]

Было бы полезно, если бы вы показали некоторые из ваших работ и объяснили, что вы ищете.
Поскольку сопротивления воздуха нет, требуется только интегрирование (а не дифференциальное уравнение). Нерелятивистское уравнение должно быть достаточно хорошим для большинства ситуаций.
Последнее уравнение, над которым я работал, было таким: $a=a_0+2/x^3=1/x^2+2/x^3$ В общем, я отбросил гравитационную постоянную и массу Земли, чтобы упростить ситуацию. и в самом деле, даже это уравнение кажется мне неправильным, потому что интегрирование $1/x^2$ должен дать $-2/x^3$ . Но я подумал, что это будет глупо, я хочу добавить ускорение, а не убавить его.
Я понимаю, что правильный путь — следовать тому, что делает гиперфизика, которая расширяется в виде ряда Тейлора, потому что я видел, как кто-то другой делал это на этом сайте. Но я не знаю, как получить константы ряда. Вот почему я подумал, что мне нужно знать дифференциальные уравнения, потому что я смотрел несколько видео из Массачусетского технологического института и не знал, как решать граничные решения и тому подобное. Например, не должен ли я использовать ODE, где мы учитываем частоту, или что-то в этом роде. Я думаю, мой первоначальный вопрос был глупым.
Да, я пытаюсь пройти через ваши расчеты для первого шага. Насколько я понимаю, вы использовали вектор разделения r. Я понимаю, что вы установили F = ma, где a — двойная производная от r. Я смущен тем, как вы добрались до $G(m_1+m_2)$ из предыдущих уравнений. Спасибо за информацию. Я буду продолжать читать, пока не выясню это.
Привет Ками. См., например , Википедию . Кроме того, если вы еще этого не сделали, пожалуйста, найдите минутку, чтобы прочитать определение того, когда использовать тег домашнего задания , и политику Phys.SE для проблем, подобных домашним заданиям.

Джон Алексиу · Answer 1

Если $h$ это высота относительно земли тогда

\ddot{час} "=" - \frac{г М}{(р + час)^{2}}

$\ddot{h} = -\frac{G M}{(R+h)^2}$

\ddot{час} "=" \frac{г \dot{час}}{г т} "=" \frac{г \dot{час}}{г час} \frac{г час}{г т} "=" \frac{г \dot{час}}{г час} \dot{час}

$\ddot{h} = \frac{{\rm d} \dot{h}}{{\rm d}t}= \frac{{\rm d} \dot{h}}{{\rm d}h} \frac{{\rm d} h}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d} \dot{h}}{{\rm d}h} \dot{h}$

\int \ddot{час} г час "=" \int \dot{час} г \dot{час} "=" \frac{1}{2} {\dot{час}}^{2} + К

$\int \ddot{h}\; {\rm d} h = \int \dot{h}\; {\rm d} \dot{h} = \frac{1}{2} \dot{h}^2 + K$

\int - \frac{г М}{(р + час)^{2}} г час "=" \frac{1}{2} {\dot{час}}^{2} + К_{1}

$\int -\frac{G M}{(R+h)^2}\; {\rm d} h = \frac{1}{2} \dot{h}^2 + K_1$

\frac{г М}{р + час} "=" \frac{1}{2} {\dot{час}}^{2} + К_{1}

$\frac{G M}{R+h} = \frac{1}{2} \dot{h}^2 + K_1$

Учитывая начальную скорость 0 на высоте $h_0$ затем $K_1=\frac{G M}{R+h_0}$ и

\dot{час} "=" \sqrt{\frac{2 г М ({час}_{0} - час)}{(р + час) (р + {час}_{0})}}

$\dot{h} = \sqrt{ \frac{2 G M (h_0-h)}{(R+h)(R+h_0)}}$ дает профиль скорости как функцию высоты

h

$h$ . Время до дистанции

т "=" \int \frac{1}{\dot{час}} г час + К_{2}

$t = \int \frac{1}{\dot{h}}\;{\rm d}h + K_2$

который может быть выражен как

т \sqrt{\frac{2 г М}{(р + {час}_{0})^{3}}} "=" {потому что}^{- 1} (\sqrt{\frac{р + час}{р + {час}_{0}}}) - \sqrt{\frac{р + час}{р + {час}_{0}} (1 - \frac{р + час}{р + {час}_{0}})}

$t \sqrt{ \frac{2 G M}{(R+h_0)^3} } = \cos^{-1}\left( \sqrt{ \frac{R+h}{R+h_0}}\right) - \sqrt{ \frac{r+h}{R+h_0} \left( 1 - \frac{R+h}{R+h_0} \right) }$

Близкое приближение к вышеизложенному

час \approx (р + {час}_{0}) (1 - {(\frac{9 г М}{2 р_{0}^{3}} т^{2})}^{\frac{1}{3}}) - р

$h \approx (R+h_0)\left(1-\left( \frac{9 G M}{2 r_0^3} t^2 \right)^\frac{1}{3} \right) - R$

Хотел бы добавить, что это только для вертикальной проекции, в общем случае путь представляет собой некоторый векторный путь. Для этого случая: $\vec{р} (т) "=" (р_{Е} + час (т)) \hat{к}$ $\vec{r}(t) = (R_{E} + h(t) ) \hat k$ $| \vec{р} (т) | "=" р_{Е} + час (т)$ $|\vec{r}(t)| = R_{E} + h(t)$ $\frac{| \vec{г р} |}{г час} "=" 1$ $\frac{|\vec{dr}|}{dh} = 1$ $| \vec{г р} | "=" г час$ $|\vec{dr}|= dh$ Вот почему "dr=dh". Когда путь не в приведенной выше форме, а имеет другие компоненты вектора, он становится намного сложнее.

ксакса · Answer 2

Почему бы вам не использовать энергосбережение? Так как это одномерная задача в потенциальном поле, то будет достаточно

Е / м "=" 0 - \frac{г М}{р (0)} "=" \frac{в (т)^{2}}{2} - \frac{г М}{р (т)}

$E/m = 0 - \frac{GM}{r(0)} = \frac{v(t)^2}{2} - \frac{GM}{r(t)}$

Для вашего предположения, что движение строго радиальное и нисходящее, вы имеете $v(t) = dr(t)/dt < 0$ так что вы можете решить для $dr(t)/dt$ и получить обычный дифференциал первого порядка, который можно решить, разделив переменные.

Это не лагранжиан, это полная энергия ( $E$ ) = кинетический ( $mv^2/2$ ) + потенциал( $-GmM/r$ ). В $t=0$ у вас есть кинетическая энергия = 0. Вы решаете это для $v(t)^2$ алгебраически, так что у вас есть $v(t)^2 = F(r)$ . Затем вы устанавливаете $v(t) = dr/dt$ и возьмите знак минус при извлечении квадратного корня, так что у вас есть $dr/dt = -\sqrt{F(r)}$ . Затем вы просто переставляете, чтобы получить $-dr/\sqrt{F(r)} = dt$ и интегрировать. Слева у вас есть функция только $r$ , только справа от $t$ .

Мэтт · Answer 3

Я думал, что гравитация - это равномерное ускорение, а не увеличение ускорения.

Позиция: $y(t) = \frac{1}{2} g t^2$

Скорость: $y'(t) = gt$ ;

Ускорение: $y''(t) = g$ ;

Это утверждение верно только до тех пор, пока высота над землей незначительна по отношению к радиусу Земли. Как правило, гравитационная сила ослабевает с квадратом расстояния до центра масс притягивающего объекта.

Интеграция радиального свободного падения в ньютоновской гравитации [дубликат]

Кам

ДилитийМатрица

Брэндон Энрайт

Кам

Кам

Дэвид З.

Кам

Qмеханик

Ответы (3)

Джон Алексиу

Дженсен Полл

ксакса

ксакса

Мэтт

Нойнек

Вопрос про замедление дроп-башни

От ускорения к смещению

Ускорение до смещения

Решите для начальной скорости снаряда с учетом угла, силы тяжести, а также начального и конечного положения?

Когда векторы скорости и ускорения будут перпендикулярны? [закрыто]

Расчет ускорения по измерениям смещения

Угловое, тангенциальное и центростремительное ускорение невращающегося объекта [закрыто]

Как рассчитать центр масс полой полусферы некоторой толщины?

Получение положения с помощью акселерометра на телефоне Android

Кинематика с непостоянным ускорением