Интуитивно понятно, почему расслоения так важны в физике?

Вся физика имеет два аспекта: локальный или даже бесконечно малый аспект и глобальный аспект. Большая часть стандартных знаний имеет дело только с локальными и бесконечно малыми аспектами — пертурбативные аспекты_ и пучки волокон играют здесь небольшую роль. Но они представляют собой важнейшую структуру, управляющую глобальным — непертурбативным — аспектом. Связки — это глобальная структура физических полей , и они неуместны только для грубого локального и пертурбативного описания реальности.

Например, калибровочные поля в теории Янга-Миллса, а значит, и в ЭМ, в КЭД и КХД, а значит, и в стандартной модели известной Вселенной, на самом деле не просто локальные 1-формы.$A_\mu^a$известны из очень многих учебников, но в глобальном масштабе действительно являются связями на главных расслоениях (или связанных с ними связках), и это очень важно, если перейти к непертурбативной теории Янга-Миллса, а значит, и к полной истории, а не к ее бесконечно малому или локальному приближение.

Примечательно, что то, что называется инстантоном Янга-Миллса вообще и инстантоном КХД в частности, есть не что иное, как базовый нетривиальный класс главного расслоения, лежащего в основе калибровочного поля Янга-Миллса . В частности, то, что физики называют числом инстантона для$SU(2)$Калибровочная теория в 4-мерном пространстве есть именно то, что математически называется вторым классом Черна , « характеристическим классом » этих калибровочных расслоений.

• Ю. М. Инстантон = класс главного расслоения, лежащего в основе непертурбативного калибровочного поля.

Чтобы оценить исключительную актуальность этого, обратите внимание, что невозмущающий вакуум наблюдаемого мира представляет собой «море инстантонов» с примерно одним инстантоном YM на фемтометр с точностью до 4-го. См., например, первые разделы

• Т. Шефер, Э. Шуряк, Инстантоны в КХД , Rev.Mod.Phys.70:323-426, 1998 ( arXiv:hep-ph/9610451 )

для проверки этого факта. Таким образом, сама субстанция физического мира, тот самый вакуум, в котором мы живем, управляется нетривиальными пучками волокон и необъяснима без них.

Точно так же расслоения контролируют все другие топологически нетривиальные аспекты физики. Например, большинство квантовых аномалий — это утверждение о том, что то, что выглядит как функция действия , подаваемая в интеграл по путям, в глобальном масштабе на самом деле является сечением нетривиального расслоения — в частности, линейного расслоения Пфаффа, являющегося результатом фермионных интегралов по путям . Более того , все классические аномалии являются утверждениями о нетривиализуемости некоторых расслоений.

В самом деле, как показывает обсуждение, квантование как таковое, если оно выполняется непертурбативно, заключается в преобразовании данных дифференциальной формы в данные линейного расслоения. Это называется предквантовым линейным расслоением , которое существует над любым глобально квантуемым фазовым пространством и контролирует все его квантовая теория. Это отражается во многих центральных расширениях , которые управляют квантовой физикой, таких как центральное расширение группы Гейзенберга гамильтонового переноса и, в целом, и что особенно важно, группа квантовых морфизмов.центральное расширение гамильтоновых диффеоморфизмов фазового пространства. Все эти центральные расширения являются нетривиальными расслоениями, и «квант» в «квантовании» в значительной степени относится к дискретным (квантованным) характеристическим классам этих расслоений. Действительно, квантование можно понять как преобразование бесконечно малых данных классической дифференциальной формы в глобальные данные расслоения. Это подробно описано в квантовании - Мотивация из классической механики и теории Ли .

Но на самом деле роль пучков волокон гораздо глубже. Квантование — это всего лишь некий шаг расширения общей истории, но уже классическая теория поля не может быть понята глобально без понятия расслоения. Примечательно, что сама формализация того, чем на самом деле является классическое поле : это сечение расслоения полей . Глобальная природа спиноров, следовательно, спиновые структуры и их тонкое влияние на физику фермионов — все это определяется соответствующими спинорными пучками .

На самом деле два аспекта расслоений в физике сходятся в теории калибровочных полей и объединяются, чтобы произвести расслоения высших слоев : а именно, мы видели выше, что калибровочное поле само по себе уже является расслоением (со связностью), и, следовательно, пучком, которого Калибровочное поле - это сечение должно быть "расслоением второго порядка". Это называется gerbe или 2-расслоением : единственный способ реализовать поле Янга-Миллса как локально, так и глобально точно — это рассматривать его как сечение расслоения, типичный слой которого$\mathbf{B}G$, стек модулей$G$-основные пучки. Подробнее об этом см. в nLab по адресу Традиционная идея связок полей и ее проблемы .

Все это становится еще более очевидным по мере углубления в локальную квантовую теорию поля с формализацией локальности, как в теореме о кобордизмах , которая классифицирует локальные топологические теории поля. Тогда уже сами лагранжианы и локальные функционалы действия являются высшими связями на более высоких расслоениях над стеком полей с более высокими модулями. Например, полностью локальная формулировка теории Черна-Саймонса показывает функционал действия Черна-Саймонса - со всей его правильной глобальной калибровочной инвариантностью - как универсальное 3-расслоение окружности Черна-Саймонса . Это так, что путем перехода к более низкой коразмерности он воспроизводит всю глобальную калибровочную структуру этой теории поля, например, в коразмерности 2Гербе WZW (само расслоение 2: фоновое калибровочное поле модели WZW!), в коразмерности 1 предквантовое линейное расслоение на пространстве модулей связностей , сечения которых, в свою очередь, дают расслоение Хитчина конформных блоков на пространстве модулей конформные кривые.

И так далее. Короче: вся глобальная структура в теории поля контролируется расслоениями, и тем более, чем более теория поля является квантовой и калибровочной. Единственная причина, по которой этим можно до некоторой степени пренебречь, заключается в том, что теория поля является сложным предметом, и, возможно, большая часть дискуссий о ней касается на самом деле только небольшого локального ее аспекта, вызывающего возмущения. Но это не так. Вакуум КХД, в котором мы живем, заполнен морем нетривиальных расслоений, и вся квантовая структура законов природы в своей основе является теоретико-связочной. См. также геометрическое квантование .

---

Расширенную версию этого текста с дополнительными указателями см. в nLab на пучках волокон в физике .

Позвольте мне сначала ответить на ваши вторые вопросы о физической интуиции, лежащей в основе расслоений: расслоения (с компактными структурными группами) описывают внутренние степени свободы, такие как спин и изоспин, точно так же, как многообразия описывают поступательные степени свободы. Например, (для описания вращения нейтральной спиновой частицы в магнитном поле необходим нетривиальный пучок волокон).

Основная (историческая) причина того, что расслоения считаются незаменимыми в физике, состоит в том, что они описывают глобальные свойства калибровочных полей. Солитонные решения, такие как инстантоны и монополи, классифицируются в соответствии с характерными классами расслоений. Эти решения важны не только в классической теории поля, но и в квантовой теории поля из-за преобладания классических решений в интеграле по путям. См., например, следующий обзор Л. Бои (особенно таблица 10.1, называемая словарем Ву-Янга, объясняющая терминологию калибровочного поля и расслоения).

Калибровочное поле, являющееся связностью на расслоении, описывается только локально как алгебра Ли со значениями в одной форме. Хотя это представление используется в формулировке различных функционалов действия в квантовой теории поля, всегда нужно помнить, что эта формулировка является только локальной. Это своего рода краткая ручная запись, аналогичная использованию координат в описании действий частиц на многообразиях, зная, что это описание является локальным только на одной карте, и всегда нужно помнить, что это описание является только локальным.

Теперь эти топологически нетривиальные решения не наблюдаются (пока?) в стандартной модели физики элементарных частиц, однако, как утверждает один из основателей квантовой теории калибровочных полей (Роман Джекив) , эти эффекты и их последствия, такие как фракционирование спинов, уже наблюдалось в лаборатории в системах с конденсированными веществами.

Однако это еще не все, потому что теория расслоений нашла множество приложений в физике помимо теории Янга-Миллса:

Во-первых, они появляются в геометрических теориях гравитации (пучки реперов, спиновые связи). На самом деле поле Дирака нельзя связать с гравитацией без введения расслоений.

В геометрическом квантовании физические состояния представляют собой участки линейных пучков.

Аномалии можно сформулировать как препятствия существованию глобальных сечений в расслоениях детерминантов (связанных с термами WZW).

Фермионы на искривленных пространствах описываются сечениями спинорных расслоений.

Пространства модулей плоских связностей определяют квантуемые многообразия с очень интересной квантовой теорией. Эти плоские связи являются классическими решениями теорий Черна-Саймонса.

Фазы Берри описывают голономии связей на расслоениях.

Поля Хиггса описываются сечениями векторных расслоений.

Расслоения необходимы при описании классических гибких систем, это известно из «Калибровочной теории падающего кота» Ричарда Монтгомери .

Геометрия пространства-времени (фон) содержит много информации о данной системе, но не всю информацию. Информация, не содержащаяся в нем, является "внутренней" информацией. Симметрии - это преобразования, которые не дают новой информации о системе, следовательно, это преобразования, которые оставляют уравнения инвариантными.

Физика описывается в терминах полей над некоторым доменным пространством. Пространство домена обычно представляет собой нечто очень геометрическое. Внешние симметрии — это симметрии в доменном пространстве, которым для релятивистской теории является пространство-время Минковского.

Симметрия системы изучается в терминах вариаций этих полей. Позволять$\mathcal{F}(M,\mathcal{A})=\{\Phi^\alpha\}_{\alpha\in I}$быть набором полей из доменного пространства$M$и диапазон$\mathcal{A}$. В случае квантовых полей пространство рангов$\mathcal{A}$пространство всех операторов над некоторым подходящим гильбертовым пространством. Внешняя вариация — это вариация в домене$M$поля. Если$\Phi\in \mathcal{F}$это поле. Внешнее изменение поля$\Phi$имеет форму,

$$\Phi(\textbf{x})\to \Phi(\textbf{x}+\delta \textbf{x})$$ Позволять $\Gamma$— группа Ли внешних симметрий. Его действие на поля задается представлением группы $\Gamma$на соответствующем гильбертовом пространстве. Если $\textbf{x}\to\Lambda \textbf{x}$является преобразованием симметрии доменного пространства, то действие соответствующего преобразования на поля определяется выражением $$\Phi(\textbf{x})\to \Phi(\Lambda \textbf{x})$$ Если преобразование $\Lambda$зависит от домена, то это называется локальным преобразованием, поскольку изменение зависит от местоположения. Если оно не зависит от локальности, то преобразование называется глобальным преобразованием. Преобразования поля, которые изменяют поле, оставляя без изменения доменное пространство, являются внутренними вариациями. Внутренняя вариация — это вариация в пространстве диапазона $\mathcal{A}$. Для поля $\Phi\in F$внутренняя вариация имеет форму, $$\Phi(\textbf{x})\to \Phi(\textbf{x})+(\delta\Phi)(\textbf{x})$$ Предполагать $\mathcal{G}$- группа Ли внутренних симметрий с ее действием на пространстве значений $\mathcal{A}$данный $r\to U\cdot r$. Затем, позволив $r=\Phi(\textbf{x})\in \mathcal{A}$соответствующее действие группы $\mathcal{G}$на полях дается, $$\Phi(\textbf{x})\mapsto U \cdot\Phi(\textbf{x})$$ Если группа преобразований $\mathcal{F}$не зависит от точек области определения, то группа называется глобальной группой внутренних симметрий, связанных с $\mathcal{G}$. Если группа зависит от местоположения или точек домена $M$они называются локальной группой внутренних симметрий.

Цель калибровочной теории — геометризировать такую ​​ситуацию. Нам нужно интегрировать в теорию группу Ли локальных внутренних симметрий так, чтобы каждой точке доменного пространства ставился в соответствие элемент группы Ли. Чтобы интегрировать группу калибровочной симметрии с фоновым пространством-временем, вводится большее родительское многообразие. Этот родительский коллектор содержит информацию как о группе датчиков, так и о фоне. Такая геометрическая конструкция является основным расслоением. Следовательно, математически калибровочная теория — это изучение главных расслоений.

Я обнаружил, что пучки волокон — полезный способ представить в уме любую теорию квантовой гравитации, зависящую от фона. такие изображения могут помочь довести математический аргумент до его сути, когда действительно начинается понимание.

простым примером может быть суперсимметрия n = 1, здесь у нас есть групповое преобразование суперпространства;

$$G({x^\mu },\xi ,\bar \xi ) = \exp i(\xi Q + \bar \xi \bar Q - {x^\mu }{P_\mu }) % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4raiaacI % cacaWG4bWaaWbaaSqabeaacqaH8oqBaaGccaGGSaGaeqOVdGNaaiil % aiqbe67a4zaaraGaaiykaiabg2da9iGacwgacaGG4bGaaiiCaiaadM % gacaGGOaGaeqOVdGNaamyuaiabgUcaRiqbe67a4zaaraGabmyuayaa % raGaeyOeI0IaamiEamaaCaaaleqabaGaeqiVd0gaaOGaamiuamaaBa % aaleaacqaH8oqBaeqaaOGaaiykaaaa!5307!$$ с $${x^\mu } % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaCa % aaleqabaGaeqiVd0gaaaaa!38D6!$$ точка в (локально) плоском пространстве-времени. изображением этого является расслоение переменных Грссмана, подобное стеблю, укорененному в точке пространства-времени.