Каким многообразием может быть фазовое пространство гамильтоновой системы?

Библия математической формулировки классической механики, а именно «Основы механики » Абрахама и Марсдена, определяет гамильтонову систему как тройную$(M, \omega, X_H)$куда$(M, \omega)$является симплектическим многообразием, и$X_H$векторное поле Гамильтона, соответствующее гамильтоновой функции$H:M\to\mathbb R$.

Существуют ли обычно какие-либо ограничения, в том числе, возможно, топологические, накладываемые на$M$? Что ж, у Абрахама и Марсдена есть довольно стандартные:

1. $M$Хаусдорф
2. $M$второй счетный
3. $M$дифференцируем

Помимо этих ограничений, авторы (и я подозреваю, что это стандарт) не накладывают больше никаких ограничений на$M$. В частности, нет никаких причин, по которым вы не можете рассмотреть многообразие$M$с произвольным родом.

Примечание. Как указал пользователь ACuriousMind и другие, существуют топологические сложности, возникающие из-за того, что только определенные многообразия допускают симплектические структуры, поэтому вы не можете просто взять любое старое (особенно многомерное) многообразие и повеселиться.

Однако обратите внимание, что в случае$2$-многообразия существуют поверхности сколь угодно высокого рода, допускающие симплектические структуры в силу следующей последовательности фактов:

1. Каждый гладкий, ориентируемый$n$-многообразие допускает гладкий неисчезающий объем$n$-форма.
2. Поэтому всякое гладкое ориентируемое$2$-многообразие допускает гладкое, ненулевое$2$-форма, которая также является невырожденной.
3. Этот$2$-форма замкнута, так как ее внешняя производная есть$3$-форма, которая должна исчезать в размерности$2$.

Возьмем, к примеру, любой$n$-кратный тор , каждый из этих парней является гладким, ориентируемым$2$-многообразие, которое поэтому допускает симплектическую структуру, и род каждого из них равен$n$. $3$-кратный тор изображен ниже

Фазовое пространство является симплектическим многообразием , поэтому любое многообразие$\mathcal{M}$допускающее замкнутую невырожденную 2-форму, является возможным фазовым пространством.

Что же необходимо (или достаточно) для принятия такой формы?

Во-первых, как вы упомянули,$\mathcal{M}$должен быть четным.

Второй,$\mathcal{M}$должен быть ориентируемым. Почему? Поскольку ориентируемость эквивалентна существованию невырожденной формы объема, а n-кратное произведение клина симплектической формы$\omega$всегда будет обеспечивать такую ​​​​форму, поэтому неориентируемые многообразия исключены.

В-третьих, если$\mathcal{M}$компактна, она должна иметь также неисчезающие вторые когомологии де Рама , так что существуют закрытые формы, которые не являются точными, одной из которых является симплектическая форма. Почему? Потому что исчезающий класс когомологий симплектической формы влечет за собой исчезающие когомологии индуцированной формы объема, чего не может быть.

При этом я предположил, как и некоторые, что термин « многообразие » уже означает хаусдорфово пространство второй счетности. Я ничего не знаю о том, локально диффеоморфны ли нехаусдорфовы пространства или пространства, не исчисляемые вторым счетом,$\mathbb{R}^n$также может быть симплектическим.

Richens & Berry [Physica 1D, 495-512 (1981)] дают прекрасные примеры таких систем (с фазовым пространством, являющимся поверхностью рода > 1), которые они называют псевдоинтегрируемыми; их примерами являются инвариантные многообразия биллиардов в виде многоугольников с рациональными углами. Эти системы интересны тем, что есть две константы движения, поэтому инвариантные многообразия двумерны, но ведут себя совсем не как интегрируемые системы, инвариантные многообразия которых являются торами (т. е. рода-1). Самый простой пример — бильярд в виде ромба с двумя внутренними углами по 120 градусов и двумя по 60 градусов. Его инвариантные многообразия являются в точности поверхностями рода 2. Причина, по которой Арнольд Теорема s (утверждающая, что инвариантные многообразия D-мерных гамильтоновых систем с D константами движения являются D-мерными торами) не может быть использована, потому что предположение о том, что два гладких векторных поля могут быть построены из двух констант движения, не работает. (Векторные поля имеют сингулярности по углам.) Мне очень понравились предыдущие ответы JoshPhysics и ACuriousMind.