Что физически представляет число Рейнольдса потока?

Из статьи Википедии для числа Рейнольдса:

В механике жидкости число Рейнольдса (Re) представляет собой безразмерное число, которое дает меру отношения сил инерции к силам вязкости и, следовательно, количественно определяет относительную важность этих двух типов сил для данных условий течения.

Помимо измерения отношения сил инерции к силам вязкости в потоке, уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости могут быть записаны в безразмерной форме, так что единственным параметром является число Рейнольдса (без учета объемных сил). Это очень хорошо, потому что это основа достоверности испытаний в аэродинамической трубе.

Предположим, мы хотим измерить аэродинамику обтекания Boeing 747. Возможны два (как минимум) варианта:

1. Соберите свой собственный полноразмерный Боинг 747, оснастите его приборами и летайте. (очень дорого)
2. Соберите маленькую модель Боинг-747, проведите ее испытания в аэродинамической трубе (гораздо дешевле).

Но откуда мы знаем, что поток, который мы измеряем в аэродинамической трубе, действительно происходит в полете? Мы сопоставляем числа Рейнольдса, и одни и те же уравнения моделируют обе ситуации — следовательно, аэродинамика должна быть одинаковой. (Игнорируя эффекты сжимаемости.)

Число Рейнольдса определяется как:

$$\text{Re} = \frac{ v D }{ \nu }$$ куда $v$- характерная скорость потока, $D$характерный размер и $\nu$кинематическая вязкость.

Теперь, почему мы должны заботиться? Почему число Рейнольдса важно? Что ж, первое, что нужно понять, это то, что число Рейнольдса — безразмерное число. Это означает, что он обладает определенной силой, которой нет у размерных чисел. Это чистое число, и оно никоим образом не зависит от вашего конкретного выбора единиц измерения. Это означает, что он имеет какое-то внутреннее или универсальное значение вне каких-либо человеческих конструкций.

В частности, можно считать, что число Рейнольдса измеряет относительную скорость потока. Можно было бы ожидать, что физика жидкостей должна быть разной для медленных и быстрых течений, но этот вопрос сам по себе четко не определен. Медленно или быстро по сравнению с чем ? Об этом нам говорит число Рейнольдса. Он сообщает нам, является ли поток медленным или быстрым, формируя естественную безразмерную меру скорости потока. Поскольку это чистое число, мы ожидаем качественно другого поведения, если$\text{Re} \ll 1$а также$\text{Re} \gg 1$.

И это именно то, что мы наблюдаем. Низкий предел числа Рейнольдса соответствует таким вещам, как шарики, падающие в кукурузный сироп, или облачные капли в воздухе, или бактерии в воде. Это медленные вязкие течения, в которых силы сопротивления пропорциональны скорости.

С другой стороны, в верхнем пределе потока у нас есть турбулентный поток, когда за нашим объектом или вокруг краев труб создаются завихрения, это общий предел, которому соответствует большинство вещей в воздухе в человеческом масштабе, так что вы знакомы с турбулентным течь интуитивно. В этом пределе сопротивление пропорционально$v^2$. Крупные объекты, такие как люди, будут находиться в этом турбулентном режиме в воздухе даже при скоростях всего 0,1 м/с или около того. Это предел, при котором вязкость становится неважной, и по большей части мы можем представить себе течение в жидкости как соответствующее просто подметанию жидкости перед интересующими нас телами.

Например, посмотрите на силу сопротивления, ощущаемую сферой, как функцию числа Рейнольдса (из Википедии ) .

В нижнем пределе числа Рейнольдса коэффициент лобового сопротивления масштабируется как$\text{Re}^{-1}$тогда как в верхнем пределе он примерно постоянен.

Импульсный поток

Рассмотрите это по-другому. Кинематическая вязкость — это константа диффузии импульса в жидкости. Это скорость распространения импульса из-за столкновений между различными молекулами жидкости. Давайте взглянем на пару релевантных моментов времени для потока жидкости.

Во-первых, отметим, что$\nu/D$имеет размерность скорости, поэтому$D^2/\nu$имеет измерения времени. (Здесь$D$характерный размер объекта и$\nu$кинематическая вязкость). Что представляет собой это время? Поскольку кинематическая вязкость является константой диффузии импульса, отношение$D^2/\nu$сообщает нам шкалу времени, в течение которой импульс перемещается на характерное расстояние$D$. С$D$— это размер нашего объекта, он должен примерно соответствовать времени, которое требуется для того, чтобы присутствие объекта переместилось через жидкость от одного конца объекта к другому. Это время, за которое жидкость «обтекает» объект. (Точнее, это время, за которое возмущения импульса жидкости обтекают объект).

Но есть и другое характерное время:$D/v$. Это второе время соответствует времени, которое требуется объекту, чтобы переместиться на расстояние, равное его размеру.$v$- скорость, с которой он движется (относительно жидкости) и$D$его размер, поэтому он переместится на расстояние$D$во время$D/v$.

Число Рейнольдса – это отношение этих двух времен

$$\text{Re} = \frac{ D^2 / \nu}{ D/v} = \frac{ v D }{ \nu}$$ Таким образом, он измеряет отношение времени, за которое жидкость обтекает объект, ко времени, которое требуется объекту, чтобы переместиться на расстояние, равное его размеру. Ясно, что если это отношение велико, мы ожидаем, что жидкость вообще не сместится с пути, а просто подметается, а если оно низкое, мы ожидаем заметного обтекания материала.

Маленький в сторону

На самом деле, используя эту идею, вы можете «вывести» нормальное уравнение сопротивления воздуха для силы. Мы можем просто предположить в простейшем случае, что мяч, летящий в воздухе, просто сталкивается со всеми молекулами воздуха перед собой. Каждая из этих молекул сообщает изменение импульса$mv$к объекту (где$m$масса молекулы воздуха). Сколько молекул мы ударяем? Что ж, если мы переедем на время$\Delta t$, если наш объект имеет площадь поперечного сечения$A$, он выметает объем$A v \Delta t$, поэтому масса воздуха в этом объеме равна$\rho A v \Delta t$, поэтому число молекул воздуха равно$\rho A v \Delta t / m$. Соответствует ли общее изменение нашего импульса

$$\Delta p = ( \rho A v dt / m ) ( m v ) = 2 \rho A v^2 \Delta t$$ а мы знаем, что сила - это скорость изменения импульса $$F = \frac{ \Delta p }{ \Delta t } = \rho A v^2$$ что правильно, за исключением коэффициента 2 и коэффициента лобового сопротивления, который по габаритным соображениям должен зависеть только от характеристики нашего тела (форма, поверхность) и числа Рейнольдса.

Навье Стоукс

Мы также можем видеть важность числа Рейнольдса непосредственно в уравнении Навье-Стокса. Если вы начнете с уравнения Навье-Стокса для потока несжимаемой жидкости:

$$\frac{\partial \vec v}{\partial t} + ( \vec v \cdot \nabla )\vec v = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \vec v, \qquad \nabla \cdot \vec v = 0$$ и обезразмерить их, выбрав характерный размер $D$и скорость $V$, вы получаете: $$\frac{\partial \vec v}{\partial t} + ( \vec v \cdot \nabla) \vec v = - \nabla p + \frac{1}{\text{Re}} \nabla^2 \vec v, \qquad \nabla \cdot \vec v = 0$$ Где здесь становится ясно, что число Рейнольдса - это просто важность $\nabla^2 v$член в уравнении. То есть нужно ли рассматривать лапласиан поля скоростей. То есть, насколько жидкость пытается сделать свои скорости в близлежащих областях постоянными. Если число Рейнольдса велико, этот член выпадает, поэтому мы можем иметь очень резкие локальные изменения в поле скоростей, т. е. турбулентное течение.