Интуитивное понимание работы и энергии

Вы можете посмотреть, почему кинетическая энергия увеличивается квадратично, а не линейно, со скоростью? также, это довольно связано.

В основном ответ на ваши вопросы: «Это просто так». Вроде, как бы, что-то вроде.

Какое определение энергии не использует эту круговую логику?

Давайте посмотрим на второй закон Ньютона:$\vec F=\frac{d\vec p}{dt}$. Умножение (d0t product) обеих сторон на$d\vec s$, мы получаем$\vec F\cdot d\vec s=\frac{d\vec p}{dt}\cdot d\vec s$

Здесь вы определяете левую сторону как работу, а правую сторону (без C) как кинетическую энергию. Таким образом, логика кажется замкнутой, но правда в том, что они определяются одновременно.

Чем кинетическая энергия отличается от импульса?

Это просто другое сохраняющееся количество, вот и все. Импульс сохраняется, пока нет внешних сил, кинетическая энергия сохраняется, пока не совершается работа.

Как правило, лучше рассматривать эти два понятия как математические инструменты и не слишком сильно привязывать их к нашему понятию движения, чтобы избежать путаницы.

Почему энергия меняется в зависимости от$Fd$и не$Ft$?

См. ответ на первый вопрос. «Просто так получилось» — это один из способов взглянуть на это.

После дальнейших раскопок я нашел эту цитату из Фейнмана:

Существует факт или, если хотите, закон, управляющий всеми известными на сегодняшний день природными явлениями. Из этого закона нет известных исключений — насколько нам известно, он точен. Закон называется законом сохранения энергии.

В нем говорится, что существует определенная величина, которую мы называем «энергией», которая не изменяется при многообразных изменениях, которым подвергается природа. Это самая абстрактная идея, потому что это математический принцип; он говорит, что существует числовая величина, которая не меняется, когда что-то происходит.

Это не описание механизма или чего-то конкретного; странный факт, что когда мы вычисляем какое-то число и когда мы заканчиваем смотреть, как природа проделывает свои уловки, и снова вычисляем число, оно остается тем же самым.

Важно понимать, что в современной физике мы не знаем, что такое энергия. У нас нет представления о том, что энергия поступает в виде маленьких сгустков определенного количества. Это не так. Это абстрактная вещь, поскольку она не говорит нам о механизме или причине различных формул.

Как продемонстрировал ответ Манишерта, безусловно, можно показать математические принципы, лежащие в основе понимания энергии, но мне кажется, что это формула, предназначенная для математического удобства (как уравнение Торричелли), а не что-то, предназначенное для интуитивного понимания и понимания . сам по себе -

Как правило, лучше рассматривать [кинетическую энергию и импульс] как математические инструменты и не привязывать их слишком сильно к нашему понятию движения, чтобы избежать путаницы.

Какое определение энергии не использует эту круговую логику?

Исторически сложилось так, что люди понятия не имели, что энергия сохраняется, в основном потому, что не очевидно, что когда механическая энергия рассеивается хотя бы частично в небытие, на самом деле она превращается в тепло. Часто связанные с этим изменения температуры очень малы и незаметны. Но у людей было ясное интуитивное представление о том, что$Fd$было хорошим показателем качества для того, что было сделано лошадью или паровой машиной, поэтому они называли это работой. Позже, когда был открыт закон сохранения энергии, у них была эта предсуществующая числовая шкала, и они поняли, что это мера передачи или преобразования энергии, поэтому они начали использовать ее в качестве единицы энергии.

С современной точки зрения есть и другой, более приятный способ. Начнем с более фундаментального определения энергии. Например, мы можем определить некоторую стандартную форму энергии, такую ​​как кинетическая энергия. Затем, используя и сдерживаясь сохранением энергии, мы определяем числовую шкалу для этой формы энергии и для других форм энергии, которые могут быть преобразованы в нее и из нее, таких как гравитационная потенциальная энергия. Цитата Фейнмана в ответе TreyK представляет собой представление этой философии. Затем можно определить работу в терминах энергии, как количество энергии, переданной макроскопической силой, и доказать теорему, что она измеряется$W=Fd$при определенных условиях. Или мы можем придерживаться$W=Fd$как определение работы, и в этом случае мы можем доказать как теорему, что она равна переданной энергии.

[...]$E_k=\frac{1}{2}mv^2$, но почему это?

Множитель 1/2 впереди - чисто исторический артефакт. Законы сохранения не меняют своей достоверности, когда вы меняете единицы измерения, поэтому мы можем иметь любой фактор впереди, который нам нравится. Но если, например, мы решили определить кинетическую энергию как$mv^2$, то нам пришлось бы изменить числовые коэффициенты во всех других уравнениях, относящихся к энергии, например, мы бы имели$W=2Fd$.

Соразмерность$m$должно быть так, потому что законы сохранения аддитивны. Например, если KE определяется как$m^2v^2$, это не будет аддитивным, если вы сложите энергии двух разных объектов.

Фактор$v^2$не должно быть так по логике, и на самом деле это не так$v^2$-- релятивистски верное уравнение другое, и$v^2$является лишь приближением для скоростей, которые малы по сравнению со скоростью света. Однако, если мы предполагаем, что ньютоновская механика является хорошим приближением, тогда она должна быть$v^2$. Существуют различные способы доказательства этого. Например, в ньютоновской механике импульс равен$mv$и сохраняется. Если считать КЕ пропорциональным$v^2$а также хотите, чтобы энергия сохранялась независимо от вашей системы отсчета, тогда вы получаете условие, которое и есть сохранение$mv$. Для любой другой пропорциональности, кроме$v^2$, поведение законов сохранения энергии и импульса не будет согласовываться друг с другом, когда вы меняете систему отсчета.

кинетическая энергия по своему названию — это энергия движения массы, в отличие, например, от потенциальной энергии, электрической энергии, тепловой энергии и т. д.
Простое геометрическое объяснение$Ke= 1/2 mv^2$рисует прямоугольный треугольник MV, импульс в качестве вертикальной стороны и V в качестве горизонтальной стороны. площадь прямоугольного треугольника представляет собой полную энергию Ke, когда она постепенно преобразуется в другой вид энергии, или если мы проинтегрируем MV вдоль оси V:$\int MV.dv|= 1/2 MV^2$!

«Большинство фундаментальных идей науки в сущности просты и, как правило, могут быть выражены на языке, понятном каждому». (Эйнштейн и Инфельд, Эволюция физики )

У меня был такой же вопрос, как у ОП, об энергии, когда я проходил курс Дэйва Фарины по классической физике ( https://youtube.com/playlist?list=PLybg94GvOJ9HjfcQeJcNzLUFxa4m3i7FW ).

Что такое энергия и работа? О каких чертах реальности мы говорим, когда используем эти слова? Я не думаю, что достаточно сказать, что это полезные, но произвольные определения. И я думаю, что мы можем поступить лучше, чем сказать, что энергия не должна быть интуитивно понята сама по себе. Определение полезно, потому что оно выделяет какой-то соответствующий аспект природы, что-то реальное, чему соответствуют наши слова. Вот как наши слова имеют значение. Если мы отказываемся ссылаться на интуицию, мы теряем этот смысл и просто механически пользуемся формулами. Аспекты природы можно интуитивно постигать в нашем опыте, и мы используем научные концепции для их представления и анализа. Итак, какие аспекты природы представлены работой и энергией? После некоторого размышления вот мои ответы на OP:

1. Энергия – это материализованное и пространственное ускорение , или просто пространственная сила .
2. Импульс – это скорость , которая только материализовалась. В отличие от энергии, шаг пространственной обработки не осуществляется, как и изменение скорости.
3. Чтобы выразить силу в пространстве, мы должны умножить$F$по пространственной длине,$d$. Умножение на$t$распространяет силу во времени, а не в пространстве. Но это только отменяет одно из двух делений на$t$что мы уже сделали, чтобы перейти от смещения к скорости и к ускорению. Это возвращает нас из$ma$к$mv$и так$F \Delta t = \Delta mv$.

Полное объяснение см. ниже. По сути, это расширенная версия размерного анализа с некоторой интерпретацией. Сначала я буду стимулировать интуицию, используя аналогию с тем, как кинематика становится динамикой. Затем я дам определение энергии из первых принципов, используя как можно меньше математики. Наконец, я отвечу на 3 вопроса более полно. Я думаю, что ключ в том, чтобы использовать аналитическое воображение для формирования интуитивных представлений о физических величинах и их комбинациях.

От кинематики к динамике

Ключевым шагом в динамике является введение массы как количества. Кинематика обсуждает перемещение, скорость и ускорение, но абстрагирует их от материи задействованных объектов. Мы включаем размерность массы, умножая каждую величину из кинематики на$m$:

Это то, что сделал Ньютон, когда назвал импульс значимой величиной, измеряемой в килограммах-метрах в секунду, которая сочетает в себе как скорость движения, так и количество материи объекта. Точно так же сила учитывает как массу, так и ускорение объекта, а не только ускорение, как в кинематике. я не знаю$m \cdot d$имеет имя, но мы могли бы назвать его чем-то вроде «материальной протяженности» или «длины материи».

Фактически кинематические концепции становятся более конкретными за счет включения фактора массы, который является конкретной реальностью в природе, которую мы знаем интуитивно (т. е. видя/чувствуя, что материя имеет сопротивление). Поэтому мы можем назвать эту процедуру введения массы материализацией смещения , скорости и ускорения.$d, v, a$являются абстрактными понятиями в кинематике, и мы делаем их менее абстрактными, включая вместе с ними массу. Так мы переходим от кинематики к динамике.

«Пространственная» кинематика

Теперь давайте воспользуемся описанной выше процедурой, но вместо измерения массы введем пространственное измерение. Мы пространственно определяем смещение, скорость и ускорение, включая пространственное понятие смещения, расстояния или длины . Мы делаем это, умножая каждый на$d$. Мы получаем:

Первый — это «длина длины», или просто площадь, измеренная в$m^2$. Мы можем назвать секунду «длиной движения» по аналогии с ньютоновским «количеством движения» для$mv$. Здесь мы хотим представить одно пространственное измерение, которое не является пустым (как$d$), или заполнены материей (как$m \cdot d$), но "заполненный" движением ($d \cdot v$). Наконец, у нас есть «длина ускорения»,$d \cdot a$, то есть пространство, которое «содержит» ускорение и ничего больше. Наше воображение может создавать эти абстрактные комбинации, хотя мы никогда не сталкиваемся с «длиной движения» или «длиной ускорения» как с отдельными реальностями в опыте. Ускорение всегда связано с какой-то массой, в каком-то конкретном контексте и т. д. Но в науке мы отвлекаемся, чтобы сосредоточиться на отдельных элементах.

Работа и энергия

На основе формулы$W = F \cdot d$и приведенному выше обсуждению мы можем дать следующее определение работы:

Работа есть пространственная сила.

Умножить$F$к$d$просто означает распространение силы в пространстве или «пространственное» его. Более полно можно сказать, что работа — это пространственное и материализованное ускорение , которое становится очевидным после простой замены:$W = m \cdot a \cdot d$. Когда работа выполнена, ускорение «сочетается» с массой, с одной стороны, и с расстоянием, с другой. Таким образом, работа производит длину силы или длину материальной величины ускорения. Мы могли бы также сказать, что работа актуализирует силу в пространстве, принимая во внимание длину пространства, к которому приложена сила.

Мы получаем кинетическую энергию, работая с формулами. Предполагая начальную скорость$0$и постоянный$a$:

Поэтому пространственное ускорение сверху сводится к:

Затем мы вводим массу, чтобы получить пространственное и материализованное ускорение , или работу, равную изменению кинетической энергии:

Чтобы ответить на вопросы ОП:

1. Энергия может быть определена без округлости как пространственное и материализованное ускорение или просто как пространственная сила , измеренная в$Nm$или джоулей. Это относится только к нашим интуитивным представлениям о пространстве, материи/массе и ускорении. (Ускорение, в свою очередь, относится к понятиям изменения, пространства и времени.) Верно, что мы начинаем с формулы$W=mad$, и можно сказать, что мы группируем m, a и d по произвольному выбору. Но эта группировка относится к аспекту конкретной реальности, и именно это выражает определение. Недостаточно просто дать символы и логические операции. Наши физические понятия на самом деле относятся к природе, которая находится вне нас.
2. Энергия есть ускорение , материализованное и пространственное . Принимая во внимание, что импульс - это скорость , которая только материализовалась ($mv$). Шаг пространственной обработки не был выполнен, и скорость не изменилась. Если мы представим импульс в пространстве, мы получим длину импульса, или$mvd$. Если мы затем возьмем скорость изменения его скорости, мы получим работу или$mad$. Можно сказать, что импульс есть постоянное движение массы, а энергия есть ускорение массы, растянутой в пространстве.
3. $F \cdot d$позволяет нам «пространствовать» силу: она представляет распространение силы в пространстве. Реальность этого силового пространства и есть то, что мы подразумеваем под энергией. С другой стороны$F \cdot t$«временит» силу или продлевает ее во времени. Однако мы уже дважды разделили время, чтобы перейти от расстояния к скорости и от скорости к ускорению (следовательно, единицы силы равны$kg \cdot {m \over s^2}$). Итак, т в$Ft$отменит один из этих делителей, чтобы дать нам$mv$, и поэтому$Ft$импульс или изменение импульса.

В физике мы можем быть уверены только в скорости, расстоянии и ускорении. Остальные — просто абстрактные понятия, такие как сила, импульс, энергия и т. д. Все понятия работы и энергии вращаются вокруг третьего уравнения движения .

Работа и энергия вводятся в физику только для решения задач. Они не имеют никакой пользы сами по себе. Легко анализировать движение объекта с помощью понятий работы и энергии, а не вспоминая уравнение движения. Чтобы получить интуитивное представление о важности концепции теоремы о работе энергии, вы должны мыслить как физик-теоретик в 19 веке. Вы должны понимать, что такое теоретическая физика на самом деле. Развитие понимания таких абстрактных понятий требует знания истории физики. Для этого используйте эту ссылку