Определение силы, кинетической энергии и импульса

Фейнман прямо указывает в т. 1 из его лекций по физике, что$F = \frac{d(mv)}{dt}$не является определением силы. В разделе 12-1 он заявляет

Если мы откроем фундаментальный закон, утверждающий, что сила равна произведению массы на ускорение, а затем определим силу как произведение массы на ускорение, мы ничего не обнаружим.

Чуть позже он заявляет

Истинное содержание законов Ньютона таково: предполагается, что сила обладает некоторыми независимыми свойствами в дополнение к закону$F = ma$; но конкретные независимые свойства, которыми обладает сила, не были полностью описаны ни Ньютоном, ни кем-либо другим, и поэтому физический закон$F = ma$является неполным законом. Это подразумевает, что если мы изучим массу, умноженную на ускорение, и назовем произведение силой, т. е. если мы изучим характеристики силы как интересующую нас программу, то мы обнаружим, что силы обладают некоторой простотой; закон - хорошая программа для анализа природы, это предположение, что силы будут простыми.

Я нашел следующие комментарии Теренса Тао на тему того, как работают физические модели, поучительными:

Теренс Тао - @Pietro: то, как работают математические или физические модели, предполагает существование множества математических величин (например, сил, масс и ускорений, связанных с каждым физическим объектом), которые подчиняются ряду математических уравнений (таких как F= ma), а также предполагается, что результат различных физических измерений может быть вычислен через эти величины. Например, два физических объекта A_1, A_2 будут находиться в одном и том же месте тогда и только тогда, когда их смещения x_1, x_2 равны.

Изначально числовые величины в этих моделях (такие как F, m, a) неизвестны. Однако из-за их взаимосвязи друг с другом и с физическими наблюдаемыми во многих случаях можно получить их значения из физических измерений с последующими математическими вычислениями. Используя линейки, можно вычислить смещения; используя часы, можно вычислить время; используя смещения и времена, можно вычислить скорости и ускорения; измеряя величину ускорения, вызванного приложением стандартной силы, можно вычислить массы; и так далее. Обратите внимание, что во многих случаях для получения этих математических величин необходимо использовать уравнения модели (например, F=ma). (Однако использование таких уравнений для вычисления этих величин не обязательно делает такие уравнения тавтологическими. Если, например,

Если кто-то нашел стандартную процедуру для вычисления одной из этих величин с помощью физического измерения, то при желании можно принять ее за определение этой величины, но для любой данной величины доступно несколько определений, и какое из них один выбирает является вопросом соглашения. (Например, определение счетчика со временем изменилось, чтобы сделать его менее восприимчивым к артефактам.)

В некоторых случаях невозможно измерить параметр модели с помощью физического наблюдения, и в этом случае параметр называется «нефизическим». Например, в классической механике потенциальная энергия системы определяется только с точностью до неопределенной константы и, таким образом, нефизична; только разница в потенциальных энергиях между двумя разными состояниями системы является физической. Тем не менее, нефизические величины по-прежнему являются полезными математическими удобствами в модели, поскольку они могут помочь в выводах о других, более физических параметрах модели. Таким образом, нет необходимости, чтобы каждая величина в модели имела физическое определение, чтобы модель обладала полезной физической предсказательной силой.

Q1 есть$F=\frac{d(mv)}{dt}$просто определение или за формулой силы стоит что-то "большее"?

$\vec{p} = m\vec{v}$это определение!$\vec{F} = m\vec{a}$не является! Практически говоря, вы можете измерить как Силу (используя упругий материал и его деформацию), так и ускорение (двойную производную пространства по времени), Ньютон обнаружил, что они пропорциональны, поэтому, поскольку они определены независимо,$\vec{F} = m\vec{a}$отношение между$\vec{F}$и$\vec{a}$не определение силы! Вы не можете измерить импульс, поэтому вам нужно его определить! Определение$\vec{p} = m\vec{v}$и причины прекрасно объяснены в книгах Фейнмана.

$$\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d(m\vec{v})}{dt}$$

Q2$W=\int\vec{F}.d\vec{S}$просто определение или есть что-то большее? Я имею в виду, можете ли вы вывести формулу работы, не принимая формулу кинетической энергии как данность.

$$W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$$ это определение работы, совершаемой силой$\vec{F}$вдоль пути вам не нужна кинетическая энергия для определения работы. Энергия – это возможная работа, совершаемая движущимся телом.

Q3 Как вывести формулу кинетической энергии и работать только из закона сохранения импульса$\sum m_i\vec{v_i}$=конст.?

Ты знаешь что$\vec{F} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = \frac{d\vec{p}}{dt}$но с тех пор$\vec{p}$является константой, производная будет равна нулю. В случае, если он движется с постоянной скоростью$\vec{v_0}$. Теперь представьте, что к массе приложена постоянная сила.$v^2 - v_{0}^2 = 2as$(из кинематики)$Fs = W = \Delta E$,$mas = W \Rightarrow$

$$v^2 - v_0^2 = 2W/m$$ $$W = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$$ Приложенная сила остановит массу, поэтому масса реагирует с противоположной силой, и поскольку энергия — это возможная работа, совершаемая движущейся массой. Так как он противостоит и$v= 0$мы получаем: $$W = \frac{1}{2}mv_0^2$$ Энергия зависит только от начальной скорости, потому что импульс (до применения постоянной силы) сохраняется.

Как вывести формулу кинетической энергии и работать только из закона сохранения импульса

Вот подход к кинетической энергии с использованием лагранжевой механики .

Лагранжиан для свободной частицы - это просто кинетическая энергия$T$частицы и сохранение импульса выражается уравнением Эйлера-Лагранжа (работающим в одном измерении)

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial v} = \frac{dp}{dt} = 0$$

Таким образом, у нас есть

$$\frac{\partial T}{\partial v} = p = mv$$

что подразумевает

$$T = \frac{mv^2}{2}$$

(Мы могли бы включить константы интегрирования, а затем обнулить их по физическим причинам.)

Q1 есть$F=\frac{d(mv)}{dt}$просто определение или за формулой силы стоит что-то "большее"?

В отсутствие сил импульс$P$сохраняется так$\frac{dP}{dt}=0$. Таким образом, если мы наблюдаем изменение импульса, мы можем также определить его как вызванное силой$F=\frac{dP}{dt}$. Итак, на мой взгляд, это определение.

Q2$W=\int F\bullet ds$просто определение или есть что-то большее? Я имею в виду, можете ли вы вывести формулу работы, не принимая формулу кинетической энергии как данность?

Предположим, что кинетическая энергия$T$есть некоторая функция импульса, поэтому$T=f(P)$. В отсутствие сил кинетическая энергия сохраняется.$\frac{dT}{dt}=0$. Однако какая-то сила вызывает изменение кинетической энергии,

$$dT=\frac{df(P)}{dP}dP=\frac{df(P)}{dP}Fdt$$ и хотелось бы иметь обычную формулу работы $dT=Fdx$так это значит $\frac{df(P)}{dP}dt=dx$и так, $$\frac{df}{dP}=v=\frac{P}{m}$$ что подразумевает, $$T=\frac{P^{2}}{2m}$$ Итак, на мой взгляд, формула работы подразумевает, что у нас уже есть формула кинетической энергии.

Q3 Как вывести формулу для кинетической энергии и работать только из закона сохранения импульса$\frac{dP}{dt}=0$?

Нужно только получить формулу для энергии, потому что ответ на второй вопрос показывает, что формула для работы следует из формулы для энергии.

Чтобы получить формулу энергии, нужно изучить группу галилеева пространства-времени. У него есть алгебра Ли,$[K,P]=m$;$[K,H]=P$;$[P,H]=0$где$P$импульс,$H$это энергия и$K$это увеличение скорости. Сохранение импульса подразумевается третьей скобкой Ли, которая говорит, что импульс коммутирует с энергией. Теперь можно использовать тот факт, что алгебра Ли имеет представление скобками Пуассона (ПБ) гамильтоновой механики. Первый ПБ,

$$m=[K,P]=\frac{\partial K}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial P} - \frac{\partial K}{\partial P}\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial K}{\partial x}$$ Это означает, что генератор бустов $K=mx$. Теперь используйте эту формулу для повышения во втором PB. $$[K,H]=\frac{\partial K}{\partial x}\frac{\partial H}{\partial P}=m\frac{\partial H}{\partial P}=P$$ а из последнего равенства следует, $$\frac{\partial H}{\partial P}=\frac{P}{m}$$ который при интегрировании относительно $P$дает обычную формулу для кинетической энергии $H=\frac{P^{2}}{2m}$и обычный символ $H$(гамильтониан) используется для кинетической энергии $T$в этом случае.

Фейнман вывел формулы для потенциальной энергии, кинетической энергии и работы, а также закон сохранения количества движения, не предполагая ничего, кроме отсутствия какого-либо доказуемого существования вечных двигателей и предполагая второй и третий законы Ньютона, в частности определение/формулу Ньютона для силы. .

Фейнман начинает с вывода формулы для гравитационной потенциальной энергии из основ в главе 4 ( http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_04.html ), предполагая только, что человек никогда не видел случая, чтобы работа выполнялась бесплатно без расход энергии. Он показывает эксперимент, в котором шар на высоте h может поднять 3 шара того же веса, что и он сам, на высоту h/3, полностью опустившись. Таким образом, при заданной гравитационной потенциальной энергии (полученной из-за его высоты) высота, на которую может быть поднят целевой объект, обратно пропорциональна весу этого целевого объекта. Таким образом, мы имеем:

(я)${\rm PE} = w h$

Затем можно предположительно подняться на разные высоты над и под земной поверхностью и обнаружить, используя достаточно чувствительный инструмент, следующее:

(ii) g зависит от высоты: падающий объект ускоряется с разной скоростью на разной высоте;

(iii)$w = m g$: сила, действующая на объект, скажем, в степени, в которой он сжимает пружину, на которую он помещен, зависит от g, которое изменяется с высотой, как в (ii).

Итак, мы получаем:

(iv) PE = w h = m g h = m a*h

Далее Фейнман показывает эксперимент с маятником (гл. 4.3), в котором потенциальная энергия маятника на высоте h полностью преобразуется в кинетическую энергию, когда он достигает дна, и эта кинетическая энергия полностью преобразуется обратно в потенциальную энергию, когда маятник достигает верх с другой стороны. Таким образом, вся потеря потенциальной энергии при качании маятника вниз преобразуется в кинетическую энергию. Поэтому:

d(PE)/dt = -d(KE)/dt

Ставя знак минус в сторону изменения h и расширяя, получаем:

d(KE)/dt = d(mgh)/dt = mgv = mav

то есть:

d(KE)/dt = mv(dv/dt)

Чтобы получить формулу для кинетической энергии KE, мы интегрируем вышеизложенное:

(v) КЭ = (1/2)*m**v^2

Далее, в главе 10, Фейнман принимает второй и третий законы Ньютона:

Второй закон: сила есть скорость изменения импульса;

Третий закон: каждое действие имеет равное и противоположное противодействие)

Фейнман объединяет два закона следующим образом: если у нас есть два объекта с импульсами p1 и p2, сталкивающиеся лоб в лоб, то согласно третьему закону Ньютона на них будут действовать равные и противоположные силы, но эти силы задаются вторым законом Ньютона как d(p1)/ dt и d(p2)/dt, поэтому имеем:

d(p1)/dt = -d(p2)/dt

т.е.,

d(p1)/dt + d(p2)/dt = 0

т.е.,

d(p1+p2)/dt = 0

интегрируя что получаем:

(vi) (p1+p2)_начальный = (p1+p2)_конечный

то есть закон сохранения импульса.

Далее, для проделанной работы рассмотрим маятник Фейнмана (гл. 4.3), когда он находится в нижней части своего качания. В этой точке есть кинетическая энергия, но нет потенциальной. Теперь кинетическая энергия действительно работает, чтобы оттолкнуть маятник обратно на высоту h на противоположном конце, работая против силы гравитации и полностью превращаясь в потенциальную энергию в процессе. Сколько работы сделано? Это не что иное, как mgh, потенциальная энергия, которую Фейнман первоначально доказал для шара на высоте h! Итак, у нас есть:

(vii) работа W = mgh = F*h = сила * расстояние

Таким образом, Фейнман вывел формулы для потенциальной энергии, кинетической энергии и работы, а также закон сохранения количества движения, не предполагая ничего, кроме отсутствия какого-либо доказуемого существования вечных двигателей и предполагая второй и третий законы Ньютона, в частности определение/формулу Ньютона. для силы.