Интуиция за принципом Паули

Как упоминалось в комментарии @kalle, принцип исключения Паули является следствием общих принципов релятивистской квантовой теории поля (КТП). Это часть теоремы о спиновой статистике , которая гласит:

• частицы с полуцелым спином (например, протоны, нейтроны и электроны) должны быть фермионами (то есть должны подчиняться принципу запрета Паули)

• частицы с целочисленным спином (например, фотоны) должны быть бозонами .

«Спин» относится к собственному угловому моменту частицы, выраженному в единицах постоянной Планка.$\hbar$. Протоны, нейтроны и электроны имеют спин$1/2$, что означает, что они имеют собственный угловой момент, равный$\hbar/2$.

На самом деле, я немного упростил. КТП сформулирована в терминах полей, а не частиц. Частицы — это явления, которые предсказывает КТП. На самом деле теорема о спиновой статистике говорит о том, что поля полуцелого спина должны быть фермионными полями, а поля целочисленного спина должны быть бозонными полями. Частицы — это проявления полей (с множеством оговорок), но ради краткости этого ответа я буду придерживаться первоначального упрощения и выражать вещи в терминах частиц, а не полей.

Говоря, что частица является фермионом, по определению означает , что волновая функция$N$этих частиц антисимметрична относительно их перестановок. Это не теорема или что-то, что нужно объяснять; это просто определение . Теорема, которую нужно объяснить, состоит в том, что спин-$1/2$частицы (например, электроны) обязательно являются фермионами — это еще один способ сказать, что спин-$1/2$частицы обязательно подчиняются принципу запрета Паули.

(Аналогично, говоря, что частица является бозоном, это означает, что волновая функция$N$этих частиц симметрична относительно их перестановок. Опять же, это просто определение; теорема объясняет, что частицы с целочисленным спином, такие как фотоны, должны быть бозонами.)

Теорема о спиновой статистике является следствием нескольких общих принципов релятивистской КТП. Один из ключевых принципов состоит в том, что полная энергия системы не может быть меньше некоторой конечной нижней границы (условно принимаемой равной нулю). Состояние с наименьшей энергией — это, по определению, состояние вакуума , представляющее собой пустое пространство. Даже в простейшей возможной модели, включающей только один релятивистский спин-$1/2$поля, наложение этого, казалось бы, безобидного принципа приводит к заключению, что поле должно быть фермионным — другими словами, что ассоциированные частицы должны подчиняться принципу запрета Паули.

Ключевое различие между полуцелым спином и целым спином состоит в том, что кинетический член в гамильтониане (оператор энергии) для поля с полуцелым спином имеет нечетное число производных, в то время как кинетический член для поля с целым спином имеет четное число производных. Это связано с тем, почему волновая функция должна быть антисимметричной в первом случае и симметричной во втором случае.

Важно отметить, что теорема о спиновой статистике опирается на релятивистскую КТП, а это значит, что она опирается на лоренцевскую симметрию, симметрию плоского пространства-времени. (Обобщение теоремы о спиновой статистике на искривленное пространство-время сделано совсем недавно; это еще сложнее.) В нерелятивистской квантовой механике такой теоремы нет. В нерелятивистской квантовой механике мы просто навязываем вручную , что спин-$1/2$частицы должны быть фермионами, потому что мы знаем, что реальные приложения нерелятивистской квантовой механики на самом деле просто приближения к релятивистской КТП. Это важно, потому что подразумевает, что мы не можем понять причину принципа запрета Паули, используя интуицию, основанную на нерелятивистской квантовой физике. Релятивистская КТП необходима.

Вопрос требует интуиции . Преобразование теоремы в интуицию часто затруднено, особенно когда теорема опирается на структуру релятивистской КТП. В случае теоремы о спиновой статистике у меня нет интуитивного объяснения, которое я бы счел удовлетворительным. То, что я пытался сделать в этом ответе, - это просто передать два связанных момента:

• Принцип запрета Паули имеет более глубокую причину . Учитывая общие принципы релятивистской КТП, это можно доказать . Классическая книга — PCT, Spin and Statistics, and All That Стритера и Вайтмана. (Это очень математически.) Те же самые общие принципы релятивистской КТП также подразумевают СРТ-симметрию , которая подразумевает существование античастиц. В той же книге доказывается и эта теорема. (Они назвали его PCT. Большинство из нас сегодня называют его CPT. То же самое.) Существует более свежее доказательство, чьи предположения еще более естественны (но доказательство еще более техническое).

• Более глубокая причина основана на релятивистской КТП. Его нельзя понять, используя только нерелятивистскую квантовую механику, где мы просто применяем его вручную.

за этим должен стоять хотя бы какой-то интуитивный смысл?

Для электронов в атоме невозможно иметь одинаковые значения всех четырех квантовых чисел . В минимуме спиновое квантовое число должно быть другим.

Спиновое квантовое число — это квантовое число, которое параметризует собственный угловой момент (или спиновый угловой момент, или просто спин) данной частицы. Меньше подчеркивается, что спин и магнитный дипольный момент электрона являются связанными свойствами:

В дополнение к спину электрон имеет собственный магнитный момент вдоль оси вращения.

Так что давайте забудем на мгновение о вращении. Представьте себе два электрона нобелевского газа гелия в виде двух стержневых магнитов. Самый низкий энергетический уровень (самая сильная связь между магнитами) будет достигнут, если стержневые магниты будут соединены встречно-параллельно.

Кроме того, интересно, что для благородного газа неона 8 электронов внешней оболочки можно смоделировать 8-стержневыми магнитами на краях куба. 4 магнита направлены северным полюсом к центру, остальные магниты направлены южным полюсом к центру. Это стабильная конструкция и единственная, кроме двух стержневых магнитов. Менее устойчива конструкция с дополнительными 8-стержневыми магнитами, соединенными поверх каждого из предыдущих 8-ми магнитов (связанных с аргоном).

Играть в LEGO иногда здорово. Во всех других случаях, пожалуйста, не слишком полагайтесь на интуицию.