Вывод правила фермионной антикоммутации

По сути, вам нужно использовать подход Гейзенберга-Лагранжа-Гамильтона... начиная с лагранжиана поля, который приводит к волновому уравнению Дирака; затем вы должны квантовать поле, используя модовое разложение, в котором фермионное поле выражается через свободные решения уравнения Дирака, которые, как вы знаете, являются спинорными решениями. Например, разложение для спин-${1}/{2}$фермионное поле:

$\hat{\Psi} = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega}} \sum_{s=1,2} [\hat{c}_s(k)u(k,s)\exp{(+ik.x)}+\hat{d}^{\dagger}_s(k)v(k,s)\exp{(-ik.x)}]$

Теперь рассмотрим состояние с двумя фермионами, созданное$\hat{c}^{\dagger}_{s_1}(k_1)\hat{c}^{\dagger}_{s_2}(k_2)$из вакуума. Если вы считаете, что одно из этих двойных состояний состоит ровно из двух одинаковых фермионов, то это состояние должно быть антисимметричным относительно обменов$k_1 \leftrightarrow k_2$и$s_1 \leftrightarrow s_2$. Теперь, если операторы$\hat{c}^{\dagger}_{s_1}(k_1)$и$\hat{c}^{\dagger}_{s_2}(k_2)$антикоммутируют, то полученные дублеты будут антисимметричными. Во многих учебниках есть такие доказательства, например, доказательство здесь взято из «Калибровочных теорий в физике элементарных частиц, том 1» Эйчисона и Хэя. Здесь в расширении сделано только простое исправление.

Относительно фундаментального антикоммутационного соотношения нам нужно постулировать то же самое, что и здесь. Полезным упражнением было бы вычисление гамильтониана этого поля.