Инвариантные тензоры симплектических и исключительных групп.

Мы знаем, что для специальных ортогональных групп С О ( Н ) существуют инвариантные тензоры (инвариантные относительно действия группы). Это дельта я Дж и полностью антисимметричный ϵ м 1 , м 2 , . . . м Н тензор.

Аналогично для С U ( Н ) инвариантные тензоры дельта к я , ϵ м 1 , м 2 , . . . м Н и ϵ м 1 , м 2 , . . . м Н ( дельта к я является инвариантным тензором U ( Н ) тоже, но не для ϵ х).

Эти объекты очень полезны при построении синглетов из объектов, трансформирующихся под представлениями С О ( Н ) или С U ( Н ) .

Вопрос 1: Существуют ли такие тензоры для симплектической группы и исключительной группы? Меня особенно интересуют группы С п ( 2 Н ) и Е 7 . Существует ли систематический метод получения того же самого?

Вопрос 2. Этот вопрос чисто ради любопытства. Можем ли мы также найти инвариантные тензоры для таких супергрупп, как О С п ( 4 | Н ) или С U ( 2 , 2 | Н / 2 ) который появляется во многих Н -расширенные суперсимметричные теории поля?

Ответы (1)

Вот частичный ответ: определить С п ( 2 Н , р ) как группа матриц С такой, что С ⋅ Ом ⋅ С Т "=" Ом где Ом я Дж — невырожденная антисимметричная матрица. Затем Ом я Дж является инвариантным тензором, подобным дельте Кронекера для ортогональных преобразований. Я не думаю, что есть еще (не уверен на 100%).

Для Е 7 : Е 7 можно определить как группу, сохраняющую антисимметричный тензор второго ранга г мю ν и вполне симметричный тензор четвертого ранга ф мю ν р о с мю , ν , р , о "=" 1 , 2 , … , 56 (т.е. 56-мерное представление является определяющим представлением). Более детально:

г мю 1 мю 2 "=" ( С мю 1 ) ν 1   ( С мю 2 ) ν 2   г ν 1 ν 2   ,
с аналогичным для другого тензора.

The Е 7 описание описано в книге П. Цвитановича " Теория групп" . Вы можете поискать там суперсимметричные группы, для которых у него есть интересный подход.

Да, конечно! Это идет по определению. Есть ли другие?
@Orbifold Я обновил свой ответ, включив в него Е 7 случай. Я не знал, что ответ в верхней части моей головы и должен был искать его.
Инвариантные тензоры симплектических и исключительных групп.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v