Могут ли конечномерные неприводимые (j+,j−)(j+,j−)(j_+,j_-) представления группы Лоренца SO(3,1)SO(3,1)SO(3,1) быть унитарными?

Утверждение «Некомпактные группы не имеют конечномерных унитарных представлений» является эвристикой , а не фактом.$(\mathbb{R},+)$— некомпактная группа Ли, имеющая нетривиальные конечномерные унитарные представления. Однако группа Пуанкаре и группа Лоренца действительно не имеют конечномерных унитарных представлений.

Ваша конструкция терпит неудачу, потому что усложнение$\mathfrak{so}(1,3)_\mathbb{C}$изоморфен только комплексообразованию $(\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2))_\mathbb{C}$, а не к настоящей группе Ли. Вы нашли унитарное представление$\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$само по себе, но это не дает вам унитарного представления ни комплексификации, ни$\mathfrak{so}(1,3)$.

Нас интересуют эти конечномерные представления$\mathrm{SO}(1,3)$даже если они не унитарны, потому что это представления на целевых пространствах полей. Представление, которое должно быть унитарным, — это представление в квантовом пространстве состояний , но не в целевом пространстве полей. Ясно, что векторное поле преобразуется в «стандартном» представлении$\mathrm{SO}(1,3)$и не волнует, что это не унитарно, потому что целевое пространство$\mathbb{R}^{1,3}$которое даже не является комплексным векторным пространством! С этими представлениями нет «проблемы», просто они не являются нужными нам представлениями в гильбертовом пространстве состояний, которые являются проективными представлениями$\mathrm{SO}(1,3)$, которые эквивалентны унитарным линейным представлениям$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$, его универсальный чехол. Чтобы узнать больше о необходимости проективного представления, см. мои вопросы и ответы .

$SO(1,3)$является реальной группой Ли, поэтому ее алгебра Ли также реальна, вам не разрешено комбинировать генераторы с комплексными коэффициентами, если вы ищете представление этой группы. Ссылаясь на (неунитарное) фундаментальное представление, состоящее из$4 \times 4$действительные матрицы, которые вы рассматриваете,$N_i^\pm$не принадлежит реальной алгебре Ли$SO(1,3)$. Возведение в степень действительных линейных комбинаций$N_i^\pm$фактически вы получаете унитарное представление группы. К сожалению группы нет$SO(1,3)$.

Использование комплексных расширений алгебры Ли$SO(1,3)$однако полезен при классификации представлений собственной вещественной алгебры Ли$SO(1,3)$, так как классификация всех комплексных представлений включает также классификацию вещественных представлений, и комплексная алгебра Ли$SO(1,3)$изоморфна прямой сумме пары алгебр Ли$SU(2)$чья теория относительно проста.

Унитарность необходима в квантовой теории из-за теоремы Вигнера, которая устанавливает, что при изображении состояний квантовой системы в гильбертовом пространстве все симметрии представлены унитарными или антиунитарными операторами.

На самом деле проблема усложняется из-за появления фаз (чистые состояния определяются как единичные векторы с точностью до фаз), которые могут нарушить закон композиции группы Пуанкаре (необходимо центральное расширение). Однако теорема Баргмана доказывает, что эта проблема не затрагивает группу Пуанкаре.