Существуют ли известные потенциально полезные нетривиальные неприводимые представления группы Лоренца O(3,1)O(3,1)O(3,1) размерности больше 4? Примеры?

Неприводимые представления группы Лоренца однозначно описываются формулой$(j_L,j_R)$где оба числа принадлежат множеству$\{0,1/2,1,3/2,2,\dots\}$. Размерность представления просто

В квантовой физике нас интересуют унитарные представления, поскольку они сохраняют норму гильбертова пространства. Большинство представлений группы Лоренца, интересующих квантовую физику, бесконечномерны. Причина этого в том, что в случае некомпактных групп унитарность подразумевает бесконечную размерность. Примерами таких представлений являются действия группы Лоренца на гильбертовых пространствах решений уравнений Клейна-Гордона и Дирака, которые оба бесконечномерны. Для случая уравнения Клейна-Гордона см. уравнение (2.59) в следующих конспектах лекций Артура Джаффе.

Все унитарные неприводимые представления$SO(3,1)$обязательно бесконечномерны. Действительно, классификация по$(j_R,j_L)$на самом деле является классификацией комплексообразования$so(3,1)$, который изоморфен$su(2)\oplus su(2)$: как конечномерные матрицы, генераторы наддува при разворачивании обратно из$su(2)\oplus su(2)$, нельзя сделать эрмитовой одновременно с образующими$so(3)$.

В то время как конечномерные неунитарные представления комплексификации$so(3,1)$все помечены двумя действительными числами$(j_R,j_L)$, бесконечномерные унитарные невозвраты не являются. В то время как невозвраты всегда помечаются двумя целыми числами, некоторые представления с основным состоянием помечаются действительным целым числом, обозначающим наименьшее представление$so(3)$в иррепе, и чисто мнимое число не обязательно целое.