Действительно ли суперкалибровочная теория SU(2)SU(2)SU(2) является калибровочной теорией SU(2)SU(2)SU(2)?

Вы правы, утверждая, что дублет$A'$перестает быть киральным, если ваши калибровочные параметры$\phi_j$реальны. Фактически, в$\mathcal{N} = 1$(глобальной) суперсимметричной калибровочной теории калибровочное преобразование не дается тем, что вы написали выше. Работая так, как вы в формализме суперполя , суперсимметричное калибровочное преобразование кирального суперполя$\Phi$в представлении$R$калибровочной группы$G$дан кем-то

$$\Phi \rightarrow \Phi' = e^{i \Lambda} \Phi,$$ где $\Lambda \equiv \Lambda_a T_R^a$, с $T_R^a$генераторы в соответствующем представлении (матрицы Паули в вашем примере).

Эти калибровочные параметры$\Lambda_a$являются, как вы подозревали, киральными суперполями, чьи «низшие компоненты»$\lambda_a$(см. уравнение ниже) являются комплексными полями.

The $\Lambda_a$действительно являются сложными функциями суперпространственных координат, а именно пространственно-временных$x^\mu$и числа Грассмана$\theta_\alpha, \overline\theta_{\dot \alpha}$. Явно (могут быть задействованы разные соглашения):

$$\Lambda_a \equiv \Lambda_a(x,\theta,\overline\theta) = \lambda_a(x) + \sqrt{2} \theta \psi^\lambda_a(x) + i \theta \sigma^\mu \overline \theta \partial_\mu \lambda_a(x)- \theta \theta F^\lambda_a(x)\\ \qquad- \frac{i}{\sqrt{2}}\theta\theta \partial_\mu \psi^\lambda_a(x) \sigma^\mu \overline \theta - \frac{1}{4} \theta\theta\overline\theta\overline\theta \square \lambda_a(x).$$ Сходным образом, $\Phi(x,\theta,\overline\theta) = \phi(x)+ \sqrt{2} \theta \psi(x) - \theta \theta F(x) + (\ldots)$.

Если моя калибровочная группа, скажем,$G = \textrm{SU}(N)$, вы утверждаете, что теория больше не является$\textrm{SU}(N)$теория, поскольку$e^{i\Lambda}$нет (взять$R$быть фундаментальным представлением)$\textrm{SU}(N)$матрица.

Однако дело в том, что после интегрирования по грассмановым координатам — скрывая тем самым конструкцию суперполя — вы получаете фактический лагранжиан теории, в котором калибровочная инвариантность проявляется обычным образом.

В частности, кинетическая часть лагранжиана калибровочной материи SUSY-теории задается с использованием суперполей следующим образом:

$$\mathcal{L}_\textrm{kin} = \int d\theta^2 d\overline\theta^2 \, \overline\Phi e^{V} \Phi,$$ где $V \equiv V_a T_R^a$, с $V_a$вещественные/векторные суперполя (общие суперполя, ограниченные $\overline V_ a = V_a$).

Калибровочное преобразование действует на векторные суперполя следующим образом:

$$e^V \rightarrow e^{i\overline\Lambda} e^V e^{-i\Lambda},$$ гарантируя, что в суперпространстве наша теория SUSY-калибровочно инвариантна.

Интегрируем теперь по координатам Грассмана$\theta, \overline\theta$, можно найти (опуская взаимодействия Гауджино и члены со вспомогательными полями):

$$\mathcal{L}_\textrm{kin} \supset |D_\mu \phi(x)|^2 -i\overline\psi(x) \overline\sigma^\mu D_\mu \psi(x),$$ где (с точностью до множителя $2g$, где $g$калибровочная связь) ковариантная производная $D_\mu$является обычным. Это совершенно нормальный калибровочно-инвариантный лагранжиан, т.е. инвариантный относительно обычных калибровочных преобразований. Вот $\phi(x)$( $\Phi$самый низкий компонент суперполя), который преобразуется, как вы написали, в том же представлении $R$.

---

NB: я систематически опускал калибровочные индексы,$\Phi$является$\Phi^i$(и поэтому$\phi$является$\phi^i$,$i=1,\ldots,\textrm{dim }R$), соответствующий$A$в вашем примере($i=1,2$).

Рекомендуемая литература : глава 4.3.1 книги Р. Аргурио «Введение в суперсимметрию», доступной онлайн .