Ищем ссылки на пифагорейские тройные подмножества

В 2009 году я ничего не знал о построении пифагорейских троек, поэтому искал их в электронной таблице. Спустя миллионы формул я нашел шаблон наборов, показанный в примере ниже.

С е т н Т р я п л е 1 Т р я п л е 2 Т р я п л е 3 Т р я п л е 4 С е т 1 3 , 4 , 5 5 , 12 , 13 7 , 24 , 25 9 , 40 , 41 С е т 2 15 , 8 , 17 21 , 20 , 29 27 , 36 , 45 33 , 56 , 65 С е т 3 35 , 12 , 37 45 , 28 , 53 55 , 48 , 73 65 , 72 , 97 С е т 4 63 , 16 , 65 77 , 36 , 85 91 , 60 , 109 105 , 88 , 137

В каждом С е т н , ( С − Б ) "=" ( 2 н − 1 ) 2 , приращение между последовательными значениями А является 2 ( 2 н − 1 ) к где к является номером члена или количеством в наборе, и А "=" ( 2 н − 1 ) 2 + 2 ( 2 н − 1 ) к . Я решил теорему Пифагора для Б и С , подставив известные теперь выражения для А и ( С − Б ) , и получил Б "=" 2 ( 2 н − 1 ) к + 2 к 2 С "=" ( 2 н − 1 ) 2 + 2 ( 2 н − 1 ) к + 2 к 2 .

С тех пор я узнал, что моя формула эквивалентна замене ( м , н ) в формуле Евклида с ( ( 2 н − 1 + к ) , к ) . Я нашел способы использовать либо мою формулу, либо формулу Евклида, чтобы найти тройки по данным только сторонам, периметрам, отношениям и площадям, а также многоугольники и пирамиды, построенные из непохожих примитивных троек.

Я обнаружил, что первый член каждого набора ( к "=" 1 ) и все члены С е т 1 ( н "=" 1 ) являются примитивными. Я обнаружил, что если ( 2 н − 1 ) является простым, в нем будут генерироваться только примитивы. С е т н если А "=" ( 2 н − 1 ) 2 + 2 ( 2 н − 1 ) к + ⌊ к − 1 2 н − 2 ⌋ и я обнаружил, что если ( 2 н − 1 ) является составным, я мог получить только примитивы в С е т н путем создания и вычитания набора [несколько] троек, сгенерированных, когда к это 1 -или более кратно любому коэффициенту ( 2 н − 1 ) . Примитивный счет в первом случае получается напрямую; счет для последнего получается комбинаторикой.

Я пытаюсь написать статью «О поиске пифагорейских троек». Наверняка кто-то обнаружил эти наборы в 2300 лет после Евклида, но я не нашел ссылок на них или какие-либо подмножества пифагорейских троек в Интернете или в книгах, которые я купил и прочитал. Итак, мой вопрос: «Где раньше упоминались эти отдельные наборы троек?» Я хотел бы процитировать работу, если я могу ее найти.

Срок действия награды только что истек, и ни один из двух ответов не помог. У меня нет дня, чтобы присудить награду. Есть берущие? Где и когда эти наборы были обнаружены ранее?

А почему бы не взять примитивную тройку и не умножить каждый член на нечетный квадрат?
Я знаю, что подмножество содержит нечетные квадраты, кратные примитивам. Мне не нужно их искать. Я ищу то, что было изучено об их свойствах. У меня есть свои наблюдения, и я хотел бы сравнить их с тем, что было сделано. Я даже разработал формулу, которая генерирует все подмножество, но я уверен, что это должно было быть сделано раньше.
все пифагоровы тройки обладают определенными свойствами...
Охарактеризованы все пифагорейские тройки (в частности, примитивные тройки). Это можно найти в любой книге по теории чисел.
У меня есть «Принципы математики» Уитхеда/Рассела и «История теории чисел» Диксона, но самое близкое, что я смог найти, — это сумма двух квадратов в третьем томе последнего, без упоминания каких-либо подмножеств пифагорейских троек. Я ищу любую ссылку на различные наборы троек, которые я нашел.
Не знаю, если Маор, Эли, 2007: Теорема Пифагора: 4000-летняя история. Принстонский университет Нажимать. ISBN 9-780-691-14823-6 помогает (я его не читал), но вообще полезно читать книги по истории пифагорейской тройки.
@ user90369 Спасибо за предложение. Я потратил около тысячи долларов на книги до сих пор в поисках ссылки. Есть шанс, что это может быть о н е . Если вы когда-нибудь найдете ссылку на эти наборы или мою формулу, дайте мне знать. Срок действия награды истекает через 56 минут, пока я пишу. Интересно, что с ним будет.
Ваше разбиение на сеты очень особенное, непонятно для чего (хотя я читал пояснение к Нилотпалу Канти Синха ). Возможно, вы первый, кто разбивается на наборы. ;) Если вы действительно не найдете то, что ищете, возможно, будет лучше расширить вашу тему (при условии, что суть темы сохранена) и разрешить больше идей. Тогда можно охватить больше читателей и возрастает вероятность найти подходящую литературу. ;) --- Для баунти оставлен льготный период в 24 часа. :)
@ user90369 Я хочу, чтобы тема была такой узкой. Я хочу, чтобы основное внимание было уделено моей формуле и наборам, которые она генерирует. Я спрашивал в различных формах, но большинство ответивших не сосредоточились на вопросе. Они ушли на общеизвестные вещи, которые не связаны с д ты е с т я о н Я спрашиваю.
Да, я уже заметил это здесь. Но очень специальные вопросы обычно не имеют много читателей. Если найду подходящую литературу, пишу конечно, но надежда к сожалению маленькая.
Ни один из двух ответов, которые я получил, не ответил и даже не ответил на вопрос о предварительном обнаружении наборов, которые я обнаружил. Только комментарии пользователя 90369 были несколько полезными.

Ответы (3)

В LE Dickson, History of the Theory of Numbers , Volume II, page 167.

Т. Фанте де Ланьи 18 заменены м к г + н в ( 1 ) и получил

Икс "=" 2 н ( г + н ) , у "=" г ( г + 2 н ) , г "=" Икс + г 2 "=" у + 2 н 2 .

Сноска 18 кратко гласит: «Hist. Acad. Sc. Paris, 1729, 318».

Ваши формулы

А "=" ( 2 н − 1 ) 2 + 2 ( 2 н − 1 ) к , Б "=" 2 ( 2 н − 1 ) к + 2 к 2 , С "=" ( 2 н − 1 ) 2 + 2 ( 2 н − 1 ) к + 2 к 2 .

Получите это из формул Ланьи, если г заменен на 2 н − 1 и н заменяется на к .

Таким образом, ваша формула эквивалентна формуле де Ланьи, за исключением 2 н − 1 "=" г однако всегда нечетно, если г четно, тройка имеет общий множитель 2 и не может быть примитивным.

Мне потребуется некоторое время, чтобы понять ваш пост, но он выглядит как шаг в правильном направлении. Ни один из других постов не был полезен, и я проголосовал за них обоих. Я потерял свои баунти-очки, но, по крайней мере, они их не получили.

В этой статье «высота» тройки определяется как С − Б и классифицирует пифагоровы тройки по их высоте и параметру к .

Высота и избыток пифагорейских троек, Д. Маккалоу — журнал «Математика», 2005 г. — Тейлор и Фрэнсис,  https://doi.org/10.1080/0025570X.2005.11953298

Извините, я не увидел в ссылке ничего, связанного с наборами, которые я обнаружил, или формулой, которую я разработал. Если бы кто-то нашел эти наборы, наверняка формула последовала бы. например Ф ( 1 , 1 ) "=" ( 3 , 4 , 5 ) , Ф ( 1 , 2 ) "=" ( 5 , 12 , 13 ) , Ф ( 1 , 3 ) "=" ( 7 , 24 , 25 ) , Ф ( 1 , 4 ) "=" ( 9 , 40 , 41 ) Ф ( 2 , 1 ) "=" ( 15 , 8 , 17 ) , Ф ( 2 , 2 ) "=" ( 21 , 20 , 29 ) , Ф ( 2 , 3 ) "=" ( 27 , 36 , 45 ) и так далее. Не могли бы вы найти ссылку на вариант формулы Евклида, где А "=" ( ( 2 м − 1 + н ) 2 − н 2 ) Б "=" ( 2 ( 2 м − 1 + н ) н ) С "=" ( ( 2 м − 1 + н ) 2 + н 2 ) ? Он производит наборы, показанные в примере.

Позволять А 2 + Б 2 "=" С 2 быть пифагорейской тройкой. Формула, которую вы упомянули, является частным случаем общей формулы, которая дает все триплеты Пифагора.

А "=" н ( р 2 − с 2 ) , Б "=" 2 н р с ) , С "=" н ( р 2 + с 2 )
где н , р , с некоторые положительные целые числа. Если вы хотите сгенерировать все примитивные пифагорейские триплеты, где а , б , с не имеют общих множителей, то возьмем НОД ( р , с ) "=" н "=" 1 .

Любой другой специальный тип троек может быть сгенерирован из этой общей формулы, так что на самом деле ничего не останется.

Я знаю, что моя формула — частный случай. Он генерирует только и все тройки, где г С Д ( А , Б , С ) "=" ( 2 м − 1 ) 2 , м е Н который включает в себя все примитивы. Одним из преимуществ является то, что он устраняет тривиальные, двойные, четные квадраты и другие нечетные кратные квадраты примитивов, порожденных формулой Евклида. То, что я ищу, является ссылкой на любое более раннее открытие с е т с показано в примере. Мое открытие кажется оригинальным, но я знаю, что это тщеславие, поэтому я хочу отдать должное, если можно найти предшествующий уровень техники.
Ищем ссылки на пифагорейские тройные подмножества
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v