Краткое резюме, так как ответ стал немного длинным

1. Магия домовых эльфов, кажется, уникальна и связана с их природой. Скорее всего, волшебники не могут использовать/изучить эту магию.
2. Магия гоблинов кажется очень похожей на магию волшебников, но они держат ее в секрете. Кроме того, они развили навыки, которые используют в течение длительного времени, и одному волшебнику будет нелегко использовать одну и ту же магию.

Теперь длинная история с примерами:

Домовые эльфы

Магия домашних эльфов описывается как «другая» без предоставления дополнительной прямой информации о ней. Также им вообще не нужны палочки, хотя неясно, могут ли они пользоваться палочками, но им это не разрешено, или они им просто не нужны. Как отмечалось в комментарии к предыдущему ответу, домашние эльфы способны использовать палочки, потому что Винки обвиняли в наложении заклинания темной метки палочкой Гарри (Гарри Поттер и Кубок огня)

Вот пример из книги «Гарри Поттер и Дары смерти», глава 10:

— Как ты ушел? — спросил Гарри и не удивился, услышав собственный шепот.

Кричер поднял свою уродливую голову и посмотрел на Гарри своими большими налитыми кровью глазами.

«Мастер Регулус сказал Кикимеру вернуться, — сказал он.

"Я знаю... но как ты сбежал от Инфери?"

Кричер, похоже, не понял.

— Мастер Регулус велел Кикимеру вернуться, — повторил он.

"Я знаю, но ..."

— Ну, это очевидно, не так ли, Гарри? — сказал Рон. "Он дезаппарировал!"

— Но… ты не мог аппарировать в эту пещеру и из нее, — сказал Гарри, — иначе Дамблдор…

«Магия эльфов не похожа на магию волшебников, не так ли?» — сказал Рон. — Я имею в виду, что они могут аппарировать и дисаппарировать в Хогвартсе и из него, когда мы не можем.

Также в главе 23 никто не мог аппарировать за пределами подвала Малфоя.

Теперь Рон пытался дисаппарировать без палочки.

— Рон, выхода нет, — сказала Луна, наблюдая за его бесплодными усилиями. «Подвал полностью защищен от побега. Сначала я пытался. Мистер Олливандер здесь уже давно, он все перепробовал».

Чуть позже приходит Добби и всех спасает:

Гарри ударил Рона по руке, чтобы он перестал кричать, и Рон выглядел испуганным своей ошибкой. Под потолком послышались шаги: Драко вел Крюкохвата к Беллатрикс.

Огромные глаза Добби в форме теннисного мяча были широко раскрыты; он дрожал от ног до кончиков ушей. Он вернулся в дом своих старых хозяев, и было ясно, что он окаменел.

— Гарри Поттер, — пропищал он чуть дрожащим голосом, — Добби пришел спасти тебя.

— Но как ты?

Ужасный крик заглушил слова Гарри: Гермиону снова пытали. Он перешел к самому главному.

— Ты можешь дисаппарировать из этого подвала? — спросил он у Добби, который кивнул, хлопая ушами.

— И ты можешь взять с собой людей?

Добби снова кивнул.

Так что, скорее всего, магия домовых эльфов не может быть повторена волшебниками, поскольку ее источником является сама природа эльфов и их глубокая связь со своими хозяевами.

Гоблины

В случае с гоблинами это выглядит иначе. Их магия похожа на магию волшебников, но они держат ее в секрете.

«Ну, гоблины могут колдовать и без палочек», — сказал Рон.

«Это несущественно! Волшебники отказываются делиться секретами знаний о палочках с другими магическими существами, они лишают нас возможности расширить наши силы!»

— Ну, гоблины тоже не поделятся своей магией, — сказал Рон. «Ты не будешь рассказывать нам, как делать мечи и доспехи так, как это делаешь ты. Гоблины умеют обрабатывать металл так, как никогда не умели волшебники».

Это подразумевает, что:

• Гоблины могут пользоваться жезлами, но не умеют создавать их самостоятельно. Скорее всего, волшебники-ремесленники просто отказываются продавать гоблинам жезлы, так как мы не видим гоблинов с жезлами.
• Волшебники могли бы в конечном итоге воспроизвести работу гоблинов, но им не хватает знаний (которые гоблины держат в секрете) и навыков.

Кроме того, мы видим много магии, используемой для защиты хранилищ в банке. Однако неясно, накладывают ли гоблины заклинания самостоятельно или пользуются услугами некоторых волшебников (например, Билла Уизли).

Кажется, что гоблины обладают некоторыми уникальными (для волшебного мира) «маггловскими» навыками. Они разбираются в финансах, поскольку Гринготтс владеет абсолютной монополией в банковском деле в волшебном мире. Это, однако, могло иметь и объяснение вне вселенной — второй банк не вписывался в сюжет, и JKR не удосужился его описать.

Природа магии, на которую способны гоблины, не очень хорошо известна. Согласно странице гоблинов на вики о Гарри Поттере:

Гоблины могут использовать магию без помощи волшебной палочки, хотя их оскорбляет отказ волшебников разрешить им использовать волшебную палочку. В свою очередь, гоблины скрывают от волшебников секреты собственной магии.

По поводу домовых эльфов :

Верхние пределы магии эльфов неизвестны, однако она невероятно универсальна и позволяет им использовать очень мощную магию.

Более того:

Их магия позволяет им выполнять задачи, такие как аппарация, которые волшебники буквально не могут. Они могут использовать чары, обезоруживать своих противников, даже сражаться с ведьмами и волшебниками и совершать чрезвычайно мощные подвиги темной магии, если они того пожелают.

Однако, столкнувшись с домашним эльфом, даже самые могущественные темные волшебники боролись ; показано, когда Кричер все еще был способен с легкостью аппарировать в пещеру Волдеморта Медальон Хоркрукс и обратно, несмотря на то, что Дамблдор, один из самых могущественных волшебников всех времен, был неспособен на это. А когда домашние эльфы приняли участие в битве за Хогвартс, многие темные волшебники пали от их мощи.

Почему волшебники и ведьмы не могут использовать такого рода магию, неизвестно, возможно, потому что:

Домовые эльфы не произносят заклинания устно, скорее их магия осуществляется благодаря их чистой силе воли и намерения.

Тем не менее, согласно статье о Домовых эльфах, у эльфов, по-видимому, есть способность владеть палочкой.

Я не могу найти какой-либо конкретной причины, по которой волшебники не могут использовать магию домашних эльфов, возможно, потому, что домашние эльфы настолько преданы своим хозяевам, что не желают распространять знания, поскольку это может подорвать их способность защищать своих хозяев.