Изменился ли приоритет операций в арифметике с 1917 года?

[Я отредактировал этот ответ в ответ на полезные комментарии в чатах. Спасибо всем за отзывы!]

##0. Введение

TLDR: Нет, с 1600-х годов ни один порядок оценки не изменился. Как подробно описано ниже, единственным изменением в этот период был переход от «черты» к скобкам для обозначения группировки. Писатели иногда отклонялись от условностей или спорили о них. Я не вижу, чтобы разногласия стали более интенсивными (письмо 1917 года, цитируемое ниже, является таким же интенсивным, как любая флеймовая война в Facebook), или люди, которые не согласны с конвенцией, потеряли почву под ногами (нет никаких доказательств того, что детей учили другим конвенциям в прошлом или любым другим). чаще, чем сейчас).

В примере «8÷2(2+2)» все, похоже, согласны с тем, что сложение внутри скобок выполняется первым; и что подразумевается умножение между "2" и "(". Но какую операцию мы должны выполнить дальше

• умножить 2 на 4, затем разделить 8 на их произведение, или

• разделить 8 на 2, а затем умножить их частное на 4?

В соответствии с алгебраическими соглашениями, которые большинство людей учат в начальной школе, мы должны сначала выполнить крайнее левое действие, без двусмысленности. Но так много людей сбиты с толку условностями или не согласны с ними, что на самом деле неясно, что имел в виду автор, кроме как запутать читателя.

Хорошая стратегия для решения этого вопроса и связанной с ним путаницы состоит в том, чтобы представить много исторического контекста и ссылок на первоисточники.

Как правило, западные европейцы к 17 веку согласились с теми же соглашениями о приоритете и ассоциативности, которые мы все еще используем, хотя они уже в основном использовали их за пару столетий до этого.

Например, в Google Книгах есть Francisci Vietae Opera mathematica (собрание сочинений Франсуа Виета, напечатанное на латыни Франсом ван Схоотеном в 1646 году) и Teutsche Algebra Иоганна Х. Рана (напечатанное в 1659 году на немецком языке). Язык и шрифт могут показаться незнакомыми, но формулы выглядят современными.

Европейцы использовали «vinculum» — горизонтальную черту над выражением — до того, как они приняли круглые скобки для обозначения группировки. (На некоторых веб-страницах говорится, что это вертикальная полоса, но это не так.) Это было единственное существенное изменение в соглашениях с 1600-х годов. Винкулум все еще сохраняется в радикале $\sqrt{.}$ ; в горизонтальной полосе в $\frac{.}{.}$ ; и в обеле ÷.

Символы ×, звездочка 2*x, выпуклая/средняя точка x·2 или наложение 2x или 2x обозначают одну и ту же операцию: умножение. Косая черта 1/2, косая черта 1÷2, дробная косая черта ¹⁄2 или дробная черта $\frac{1}{2}$ обозначают одну и ту же операцию: деление, обратную операцию умножения: a÷b=ab^(-1 ). У них одинаковый приоритет и другая семантика.

Усложнение соглашений, например использование разного приоритета для одной и той же операции, написанной по-разному, только добавит путаницы и не принесет пользы. Никто этого не хочет, за исключением, возможно, некоторых репетиторов по математике (2.6 ниже).

Читатели сразу же заметили (даже Teutsche Algebra намекает на это), что после последовательного деления следует другое деление a/b/c или умножение a/bc, которое является смыслом вашей абсурдно надуманной головоломки Facebook, может быть трудночитаемым и запутанным. Согласно общепринятым соглашениям, «1 ÷ 2x» не является двусмысленным. Оно может означать только (1÷2)×x, а не «1÷(2×x)». Но студентов учат, чтобы они хорошо писали, использовать группировку (лишние круглые скобки в современном использовании) или отображать- бар дроби стиля:

1

—×х.

2

Руководство по стилю буквально веками находилось в бесчисленных руководствах по стилю и стандартах (SI, ISO, DIN...).

Студенты также должны знать, что если они встречают 1÷2x, то это означает (1÷2)×x в соответствии с правилами, но автор мог иметь в виду 1÷(2×x).

Я видел три причины, объясняющие, почему умножение может стоять перед делением в вашей головоломке:

• умножение и деление идут справа налево, а не слева направо;

• Умножение всегда предшествует делению;

• Умножение, записанное как сопоставление, и/или деление, записанное как ÷, идет до/после других умножений/делений.

Эти правила не противоречат друг другу. Я обращусь к каждому по очереди.

##1. Ассоциативность

Для таких операций, как вычитание и деление, ассоциативность имеет значение и должна быть согласована по соглашению. Поскольку (ab)-c не то же самое, что a-(bc) почти для всех a', b, c, как только люди согласились, что определенные символы будут обозначать деление и вычитание, они также были вынуждены согласиться с соглашением об их ассоциативности. .

По соглашению, «-» и «÷» ассоциативны слева: abc означает a+(-b)+(-c), что равно (ab)-c, а не a-(bc), что равно a-b+c. Точно так же a÷b÷c означает $(a÷b)÷c=ab^{-1}c^{-1}=a÷(bc)$, а не a÷bc, который равен (a÷b)c. Напротив, возведение в степень правоассоциативно: 2 ^ 2 ^ 2 означает 2 ^ (2 ^ 2), а не (2 ^ 2) ^ 2.

Такие условности произвольны, несколько случайны, не являются ни теориями, ни методами, могут быть коллективно изобретены, обсуждены, пересмотрены и согласованы, не могут быть доказаны, опровергнуты или обнаружены. Основание 10 (так что 9 + 1 равно 10) и запись старшей цифры слева - аналогичные соглашения. Это не математическая проблема, а проблема языка/обозначения.

В левой ассоциативности нет ничего изначально правильного. Европейцы, использовавшие алгебраическую нотацию, согласились, что «abc» будет означать «(ab)-c». Мы можем предположить, что они выбрали левую ассоциативность, потому что латинский и греческий алфавиты пишутся слева направо. Вспомним, что средневековые европейцы переняли арабские/индийские цифры из исламской/арабской цивилизации, письмо которой пишется справа налево, но которые, в свою очередь, переняли цифры из Индии, чьи письма на основе деванагари пишутся слева направо. Таким образом, американские, европейские и индийские учащиеся, читающие слева направо, сначала встречают старшую значащую цифру, а последнюю - наименее значащую цифру; но арабские (и израильские) учащиеся, читающие справа налево, сначала встречают младшую значащую цифру, а самуюпоследняя значащая цифра, что иногда вызывает легкую путаницу. Мы можем предположить, что если бы в какой-то альтернативной истории средневековые арабы выбрали соглашение об ассоциативности для вычитания и деления, они, вероятно, выбрали бы правильную ассоциативность (а также изменили бы порядок десятичных цифр).

В компьютерном языке APL все операторы имели одинаковый приоритет и были правоассоциативными: a÷bc означало a÷(bc).

##2. Приоритет

###2.1 Мнемоника PEMDAS

Во- первых , большинство американских школьников (5-й класс, согласно учебной программе США Common Core; ранее в других странах) учат мнемоническому правилу PEMDAS («пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли» / «пожалуйста, съешьте мамины вкусные яблочные штрудели»). / «люди едят больше пончиков после школы»), что означает

• Скобки (называемые «скобками» в некоторых других странах)

• Показатели (степени и корни, также называемые «порядками» или «индексами» в некоторых других странах)

• Умножение и (обратное ему) деление имеют одинаковый приоритет

• Сложение и (обратное ему) вычитание имеют одинаковый приоритет

PEMDAS может быть записан как PEDMSA или PEDMAS. В Великобритании и Канаде это правило иногда называют BOMDAS или BIDMAS. Во франкоязычных странах PEMDAS означает круглые скобки; экспоненты; умножение и деление; добавки и соусы .

Даника МакКеллар предложила мнемонику «Панды едят: горчицу на клецках и яблоки со специями», чтобы подчеркнуть, что M и D имеют такой же приоритет, как A и S.

Я не могу найти самую раннюю ссылку на PEMDAS, но вот книга 1945 года, в которой цитируется «правило знаков (BODMAS)» .

###2.2 Альтернативы PEMDAS

Многие веб-страницы выступают против PEMDAS. Например, тренер Excel пишет:

PEMDAS и математический порядок операций с Microsoft Excel... Пример PEMDAS: = 2 + 3 * 4 Большинство людей прочитают эту формулу слева направо и посчитают, что 2+3 равно 5 и 5 умножить на 4 равно 20, и это будет не быть полностью неправильным. Однако, поскольку умножение имеет более высокий порядок приоритета, чем сложение, Excel сначала вычислит 3*4 равно 12, а 12+2 равно 14.

Надеюсь, мало кто думает, что 2+3×4 означает (2+3)×4.

Некоторые утверждают, что «MD» означает, что все умножения должны выполняться перед всеми делениями. Например, в аналогичном обсуждении на форуме по физике кто-то написал:

У меня есть друг, который выступает за CPMD (переместительное свойство умножения над делением) при использовании PEMDAS. По сути, слева направо вы сначала решаете умножение, затем возвращаетесь и выполняете деление. PEMDAS появился примерно в 1986 году и утверждает, что умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому для знаменитого уравнения 6/2 (2 + 1) до 1986 года, как его учили, вы получите 1; после 1986 года, используя PEMDAS, как меня учили, вы получите 9.

Нет, до 1986 года студентов обычно не учили, что умножение имеет более высокий приоритет, чем деление. «Знаменитое уравнение» не является уравнением (не содержит знака =). Нет никакого "КПМД".

###2.3 Lennes 1917 Letter to American Math Monthly

Я нашел письмо, озаглавленное «Обсуждения: Относительно порядка операций в алгебре», написанное профессором Н. Дж. Леннесом из Университета Монтаны в разделе «Вопросы и обсуждения» февральского номера журнала « American Mathematical Monthly» за 1917 год (вероятно, все еще © Mathematical Association of America). (Леннес был также вторым автором учебника алгебры Слота 1907 года, цитируемого ниже.) Леннес настойчив и использует много курсива для выделения:

Следуя этому теоретическому развитию, большинство современных учебников дают следующее правило:

Ряд операций, включающих только умножение и измерение, должен выполняться в том порядке, в котором они происходят слева направо.

§ 2. Фактическое использование.

Приведенное выше правило противоречит фактическому использованию. С указанным выше правилом соглашаются практически все те авторы по алгебре, которые вообще упоминают об этом предмете. Кристал дает подробное развитие, и авторы по элементарной алгебре в целом последовали за ним. Однако из этого правила выполнения умножения и деления по порядку слева направо следует, что

$$9a^2 ÷ 3a = (9a^2 ÷ 3) × a = 3a^3.$$

Но мне не удалось найти ни одного случая, когда бы это интерпретировалось именно так. Дело в том, что правило, требующее, чтобы операции умножения и деления производились слева направо во всех случаях , никем не соблюдается . Например, если за знаком ÷ следует указанное произведение, в качестве делителя всегда используется все произведение, за исключением теоретической постановки случая.

Писатели встречают ситуацию по-разному:

(а) Некоторые всегда используют дробную форму для обозначения деления, что эквивалентно символу агрегации. Таким образом, $ab/cd = (ab) ÷ (cd)$.

б) Некоторые выписывают слова полностью, например: «разделить это выражение на то выражение».

(c) Некоторые используют знак ÷ для обозначения того, что все произведение после знака ÷ должно быть делителем.

Самое важное исключение из (с) происходит в развитии теории в таком тексте, как «Кристалл». В Chrystal $÷ u × v$ иногда используется для обозначения $(÷ u) v$. Однако в таких случаях используется обозначение $÷ u × v$, а не $÷ uv$.

Кристал в одном случае пишет $2^2 ÷ 3^2 × 5^2 = (2^2 ÷ 3^2) × 5^2$. (Обратите внимание на знак × для обозначения умножения.) Он также пишет $pa/pb = pa ÷ (pb)$. (Обратите внимание на круглые скобки.) Это ближе к согласованности, чем обычно. Однако Кристал ни в коем случае не пишет $9a^2 ÷ 3a$ как эквивалент $(9a^2 ÷ 3) × a$. Он преодолевает трудности, никогда не используя знак ÷ с произведением после него.

Последователи Кристала слишком часто слепо копировали его теорию, но не прилагали усилий, как он, чтобы избежать непоследовательности в использовании. Примеры такого несоответствия в теории и использовании можно было бы умножать до бесконечности . В одном тексте, который очень широко использовался, говорится (при развитии теории):

$60 - 40 ÷ 5 × 3 - 20 = 60 - \frac{40}{5} - 20,$$

но на следующей странице мы читаем:

$$10bc ÷ 12a = \frac{10bc}{12a}.$$

Установленное использование. Когда указанный продукт следует за знаком ÷, весь продукт, в силу подавляющего преобладания фактического использования, следует рассматривать как делитель. Следовательно, истинное правило относительно порядка операций, когда задействованы и умножение, и деление, не то, что указано выше, а следующее:

Все умножения должны быть выполнены в первую очередь, а затем деления.

То есть $9a^2 ÷ 3a = 3a$, а не $3a^3$.

Умножения можно выполнять в любом порядке, но деления следует выполнять в том порядке, в котором они происходят слева направо.

То есть ассоциативный закон выполняется для первого, но не для второго.

Таким образом, $3 × 5 × 2= (3 × 5) × 2$ или $= 3 × (5 × 2)$; но $16 ÷ 4 ÷ 2 = (16 ÷ 4) ÷ 2$, а не $= 16 ÷ (4 ÷ 2)$.

Сравните соответствующие правила сложения и вычитания в § 1.

Математические идиомы. Можно согласиться с тем, что для простоты и логической связности глагол to drink следует употреблять в прошедшем времени, но даже в этом случае англоязычные люди будут продолжать говорить drink, а не nicked.Именно по этой же причине все, кто что-либо знает о языке алгебры, считают $9a^2 ÷ 3a$ равным $3a$, а не $3a^3$, и, следовательно, только что приведенное правило является правильным. в зависимости от фактического использования. Когда способ выражения получил широкое распространение, его нельзя менять по своему желанию. Задачей лексикографа и грамматика является запись не того, что, по его мнению, должно означать выражение (независимо от того, насколько надуманным может показаться обычное или идиоматическое употребление), а того, что оно на самом деле понимается теми, кто его использует . . Язык алгебры содержит некоторые идиомы, и при формулировании грамматики этого языка мы должны их учитывать. Например, такой идиомой является то, что $9a^2 ÷ 3a$ означает $3a$, а не $3a^3$. Дело не логическое, а историческое.

Леннес предлагает всегда давать умножению более высокий приоритет, чем делению, даже если это явно указано, поэтому 2÷2×2 будет означать 2÷(2×2), а не (2÷2)×2, потому что он думает, что 2-2+2 означает 2-(2+2), а не (2-2)+2: corresponding rules for addition and subtraction- пишет он. Неудивительно, что предложенное правило не вошло ни в одну книгу. Леннес ошибается насчет «устоявшегося обычая» (за исключением, может быть, незадачливых учеников, которых он сам обучал). Он приводит один источник — Chrystal, который, как признается Леннес, следует многовековым условностям, а не новому правилу, предложенному Леннесом. Какой «один текст, который был в очень широком употреблении» критикует Леннес?

Я нашел текст Кристала в книгах Google: «Введение в алгебру: для использования в средних школах и технических колледжах» Джорджа Кристала, Лондон, 1898 г. На странице 6 Кристал упоминает винкулум (верхнюю черту) как жизнеспособную альтернативу скобкам, что несколько анахронично для текста 19 века. Эта книга написана очень запутанно (я полностью согласен с критикой Леннеса). На странице 7 Кристал, кажется, предполагает, что a÷bc может быть неверно истолковано как a÷(bc), но это неясно. Леннес утверждает в своем пункте (c), что некоторые другие авторы (которых он не называет) интерпретируют a÷bc как a÷(bc), но Кристал интерпретирует a÷bc как (a÷b)×c.

###2.5 Флориан Каджори

Флориан Каджори написал несколько книг по истории преподавания математики. В «Истории математических обозначений» , 1928, т. 1, с. 274, Каджори пишет:

Порядок операций в терминах содержит как ÷, так и ×. - Если арифметический или алгебраический термин содержит ÷ и ×, в настоящее время нет согласия относительно того, какой знак следует использовать первым. «Лучше избегать таких выражений» [и он цитирует французскую книгу 1833 года как источник этого превосходного совета]. Например, если в 24 ÷ 4 × 2 знаки используются по мере их появления в порядке слева направо, ответ будет 12; если знак × используется первым, ответ равен 3.

Некоторые авторы следуют правилу, согласно которому умножение и деление должны выполняться в том порядке, в котором они происходят [цитируется Luby and Touton, 1910, ссылка ниже]. Другие авторы учебников предписывают сначала выполнять умножение в любом порядке, а затем деление слева направо [цитируется Slaught and Lennes, 1907, ссылка ниже]. Термин a ÷ b × b интерпретируется Фишером и Шваттом [ссылка ниже] как (a ÷ b) × b. Английский комитет рекомендует использовать скобки, чтобы избежать двусмысленности в таких случаях.

Старые учебники можно найти в Google Книгах:

• Хоукс, Луби и Тутон ;

• Фишер и Шватт ;

• Слот и Леннес .

Но Каджори ошибается : Слот и Леннес на самом деле написали на странице 30:

В операциях с круглыми скобками выражения внутри скобок должны выполняться первыми, если это возможно. Затем выполните указанные умножения и деления и, наконец, оставшиеся сложения и вычитания.

Леннес предложил это изменение правила в письме 1917 года, но я не вижу предложенного правила в учебнике Slaught 1907 года (10 лет назад).

«Английский комитет» — это отсылка к статье в Mahematical Gazette, которую мне не удалось найти в Интернете.

###2.5 Веб-страница Джеффа Миллера

Я нашел превосходную страницу Джеффа Миллера , на которой написано:

Соглашение о том, что умножение предшествует сложению и вычитанию, использовалось в самых ранних книгах по символической алгебре в 16 веке. Соглашение о том, что возведение в степень предшествует умножению, использовалось в самых ранних книгах, в которых появились возведения в степень...

В 1898 году в «Учебнике алгебры» Г. Э. Фишера и И. Дж. Шватта a÷b×b интерпретируется как (a÷b)×b.

В 1907 году в High School Algebra, Elementary Course Слота и Леннеса рекомендуется сначала выполнять умножение в любом порядке, а затем деление слева направо.

В 1910 году в Первом курсе алгебры Хоукса, Луби и Тутона авторы пишут, что ÷ и × следует брать в том порядке, в котором они встречаются.

В 1912 году в «Алгебре первого года» Вебстера Уэллса и Уолтера У. Харта сказано: «Указанные операции должны выполняться в следующем порядке: сначала все умножения и деления в порядке слева направо, затем все сложения и вычитания слева направо. верно."

В 1913 году во Втором курсе алгебры Вебстера Уэллса и Уолтера У. Харта говорится: «Порядок операций. В последовательности основных операций над числами принято, что операции под радикальными знаками или внутри символов группировки должны выполняться перед всеми другие; что, в противном случае, все умножения и деления должны быть выполнены сначала слева направо, а затем все сложения и вычитания, действуя снова слева направо».

Джефф Миллер цитирует те же учебники, что и Каджори, а также Уэллс и Харт ; и повторяет ошибку Каджори относительно Слота и Леннеса.

Несколько веб-страниц указывают на страницу Джеффа Миллера и утверждают, что он нашел старую книгу, в которой говорилось, что умножение имеет более высокий приоритет, чем деление, но в книге Слота этого нет, и они не могут указать ни на какие другие книги, в которых это говорится.

###2.6 Репетиторы и унарники

PEMDAS часто называют «неправильным», «вводящим в заблуждение», «упрощенным», «нечетким» и «непоследовательным» в онлайн-рекламе репетиторами по математике , стремящимися напугать родителей, чтобы они наняли кого-то для «обучения» детей альтернативным правилам, которых нет в учебниках. "более сложный", чем PEMDAS.

Действительно, PEMDAS не определяет ассоциативность или приоритет функций (например, триггер) или унарное отрицание. Например, означает ли "-1^n" или "-(1^n)" или "(-1)^n"? По соглашению -1^n означает -(1^n); поэтому вы должны написать (-1)^n, если это то, что вы действительно имеете в виду. sin x^2 обычно означает sin (x^2), а sin^2 x означает (sin x)^2, но их обычно не учат сразу. (sin ax/2 или sin x(y-pi)+z действительно нуждаются в скобках.) В более поздних классах дети изучают дополнительные правила алгебры (ни одно из которых не противоречит PEDMAS), точно так же, как сначала они учатся вычитать для получения неотрицательных результатов, а потом как из меньшего вычесть большее число; сначала изучите квадратные корни из неотрицательных чисел, а затем квадратные корни из отрицательных чисел.

##3. Сопоставление

Наконец, мы подошли к части сопоставления. Мы помним, что примерно 8 лет назад кто-то спросил на Math exchange: что такое «умножение на сопоставление»? и цитируется:

Среди математиков общее мнение заключается в том, что «умножение путем сопоставления» (то есть умножение путем простого размещения элементов рядом друг с другом, а не с использованием знака «×») указывает на то, что сопоставленные значения должны быть умножены вместе перед обработкой других операций.

На что модератор The Chaz 2.0 ответил:

Этот вопрос больше о том, как мы справляемся с троллингом и неприятностями.

Прочтите эту страницу: http://knowyourmeme.com/memes/48293

Тогда, может быть, мы сможем начать мета-статью о выявлении и работе с этими потоками.

Между математическими форумами, которые я модерирую и часто посещаю, и десятками других форумов.

(краткий список здесь: http://www.mymathforum.com/viewtopic.php?f=13&t=20148&p=79150#p79150 ),

Я предполагаю, что тысячи часов были потрачены впустую на этот мусор.

и закрыл вопрос. Возможно, ему не нравилось откровенно ложное утверждение об «общем согласии».

Письмо Леннеса предлагает всегда давать умножению более высокий приоритет, чем делению, даже если это явно указано, а не только тогда, когда это подразумевается сопоставлением.

Когда Microsoft Excel обнаруживает сопоставление в формуле, он говорит: «Microsoft Excel обнаружил ошибку во введенной вами формуле. Вы хотите принять предложенное ниже исправление?» и предлагает вставить символ умножения "*".

Mathematica Вольфрама — одна из немногих компьютерных систем, которые могут предположить, что сопоставление означает умножение. Мы видим, что http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2x выводит x/2, но для некоторых примеров также предупреждает: «Предположим умножение». Mathematica правильно заменяет «a/b c» и «a/b×c» на «ac/b». Некоторых людей смущает «a/bc», потому что «bc» — это отдельный токен, а не продукт b×c.

WeBWorK интерпретирует сопоставление ("например, 2x, 2x или 2*x, а также 2(3+4)") как умножение с тем же приоритетом.

В производной dy / dx (частное двух дифференциалов) «dx» - это не произведение «d × x», а (более или менее) унарное d (или ∂), примененное к x.

Выражение типа $\Bbb Z/n\Bbb Z$ может ошеломить человека, не разбирающегося в математике, потому что символы выглядят как деление и умножение чисел, но таковыми не являются. «Жирным шрифтом на доске» $\Bbb Z$ обозначает группу (складываемых целых чисел), а не число. $n\Bbb Z$ не является ни n×Z, ни n·Z, а его нормальной подгруппой, состоящей из кратных n. / (произносится как «мод») обозначает группу «фактор» (или «частное») (не обозначается ÷), здесь циклическая группа порядка n. (А $\Bbb Z×\bbbZ$ и $\Bbb Z*\bbbZ$ также не являются произведениями двух чисел.)

###3.1 Американское математическое общество

Источником городской легенды Американского математического общества, по-видимому, является этот пример из ранней версии Руководства для обозревателей, заархивированного здесь , в котором говорится:

Формулы. Вы можете помочь нам сократить расходы на производство и печать, избегая чрезмерного или ненужного цитирования сложных формул. Мы линеаризуем простые формулы, используя правило, согласно которому умножение, указанное сопоставлением, выполняется перед делением. Например, ваш дисплей с кодировкой TeX

$${1\over{2\pi i}}\int_\Gamma {f(t)\over (t-z)}dt$$

вероятно, будет преобразован в

$(1/2\pi i)\int_\Gamma f(t)(t-z)^{-1}dt$

в нашем производственном процессе.

Это было написано запутавшимся наборщиком, а не математиком. Замена дисплея

1

——

2π

встроенный 1/2π был бы неприемлем для большинства авторов AMS (плохой стиль и изменение смысла). AMS исправила это в более поздних версиях. На текущей версии веб-сайта AMS я не нашел ничего, что могло бы одобрить такое переписывание.

###3.2 Идиома физики

Некоторые физики записывают энергию kT или RT как неразделимый член, который больше не является произведением постоянной Больцмана $k_B$ (или постоянной идеального газа R = k × постоянной Авогадро $N_A$) и температуры Кельвина T. Например, это На странице Википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Chemistry#Energy (3-й абзац) используется «E/kT». На этой странице Википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Activation_energy#Relationship_with_Gibbs_energy_of_activation несколько раз используется «/RT». В лекциях Фейнмана по физике используется «/kT». Курс теоретической физики Ландау и Лифшицаопускает k (читатель должен знать, что T действительно означает kT), но пишет «)/2mT». Некоторые пишут c/λT, где λ — длина волны. Это означает умножение на температуру, но (самодовольно говорят некоторые физики) это не имеет физического смысла, поэтому автор имел в виду «/(kT)».

В некоторых книгах по статистике, не относящихся к математике, показатель степени в стандартном отклонении записывается как -(x-μ)^2/2σ^2, что означает, что они умножаются на σ^2.

###3.3 Стэнфордская книга

Я знаю только одну книгу, которая одобряет запутанные обозначения, и это книга по информатике, а не по математике: « Конкретная математика» Грэма, Кнута и Паташника говорит в начале «примечания к обозначениям»: «некоторые символизма в этой книге не (пока?) стал стандартом» (это преуменьшение) и позже говорит в самом низу «примечания к обозначениям» на странице XI: « Выражение формы 'a/bc' означает то же, что и 'a/(bc)'".

Кнут, Ландау или Фейнман не дураки, но на уроке алгебры в начальной школе с них сняли бы баллы. Надеюсь, кто-то исправит будущие издания своих книг.

###3.4 Калькуляторы с ошибками

Известно, что некоторые электронные калькуляторы используют логику «сопоставления». Например, это фото:

показаны два калькулятора Casio. Тот, что справа, однозначно прав; тот, что слева (fx-570MS), неправильно дает более высокий приоритет «умножению, подразумеваемому сопоставлением» или «сокращенному», и просто глючит. Эта ошибка была у некоторых старых моделей Texas Instruments, но она была исправлена ​​во всех моделях с 1996 года ( Часто задаваемые вопросы TI ). В некоторых (не во всех) старых моделях Casio использовались чрезвычайно сложные правила ( Руководство пользователя Casio , стр. 34-35).

Точно так же некоторые старые калькуляторы с ошибками реализовывали возведение в степень как левоассоциативное вместо правоассоциативного: a^b^c= (неправильно!) (a^b)^c=a^(b*c).

Эти ошибки калькулятора никогда не были преднамеренными. Первые инженеры твердотельных калькуляторов (конец 1950-х годов) просто еще не знали, как преобразовывать алгебраические формулы в польские обозначения/деревья в соответствии с общепринятыми математическими соглашениями. Подобные проблемы досаждали разработчикам ранних компиляторов FORTRAN (тоже конец 1950-х) и вскоре были в основном решены (например, Backus 1959 ), но новые методы не применялись к калькуляторам в течение многих лет.

##4. Выводы

Подводя итог, я встречал многих людей, чьи учителя математики плохо справлялись со своей работой, и которые придерживались неверных фактических представлений о математике. Например, некоторое время назад я написал на Quora, почему американское математическое образование такое ужасное? и упомянул, как детей учили, что это не набор, если он не окружен {}. Другой пример — написание знака равенства для «следовательно» или «если и только если»: многих американских детей учили писать выражения типа «x-1 = 2 = x = 3» и давали читателю понять, что такое середина «= " означает, а не "x-1 = 2 $\leadsto$ x = 3" или, если они действительно должны, "(x-1 = 2) = (x = 3)". Я не знаю ни одной книги, которая поддерживает что-либо из этого.

Фраза «американский учитель истории» неоднозначна, потому что «американец» может быть модификацией «история» (учитель американской истории) или «учитель» (американский учитель истории). «Американский учитель/репетитор по математике» может означать кого-то, кто обучает необоснованным неписаным правилам, которых нет в учебниках — будьте осторожны, покупатель.

Ответ на заглавный вопрос — «нет» по той простой причине, что (нечеткие, непоследовательные) правила, упомянутые в заметке Леннеса 1917 года, широко используются и сегодня.

Я думаю, что важно различать арифметические обозначения начальной школы и обозначения, используемые настоящими математиками, которые также используются в начальной школе по алгебре и исчислению и которые я буду называть алгебраическими обозначениями.

В арифметической записи начальной школы умножение и деление всегда пишутся ×и ÷. В алгебраической записи умножение обозначается сопоставлением или ·или ×, а деление обозначается линией (в идеале горизонтальной линией, поскольку это однозначно, но часто диагональной линией). Я никогда не видел ÷, чтобы деление использовалось в современной алгебраической записи, а поскольку сопоставление не используется в арифметике начальной школы, нет современной записи, в которой вы когда-либо видели бы строку, подобную 8 ÷ 2(2+2). Такое можно увидеть только в вопросах, которые призваны спровоцировать споры в Интернете. Но в любом случае...

Есть более тонкие, но важные различия между реальной математикой и тем, что преподается в начальной школе.

Во-первых, в алгебре есть правила приоритета операторов, но нет порядка операций. Правила приоритета означают, что 5 + 6 + 7 · 8это эквивалентно 5 + 6 + (7 · 8), но если вы вычисляете это выражение, совершенно нормально добавлять 5 и 6 перед умножением 7 и 8. Нехорошо сначала складывать 6 и 7, но это не так, потому что умножения должно произойти до добавления; это потому, что 6 и 7 не являются операндами одного и того же оператора, хотя это выглядит так, когда скобки опущены.

Точно так же нет правила, согласно которому операции выполняются слева направо. Алгебраические поля имеют две ассоциативные бинарные операции, сложение и умножение, и две унарные операции, аддитивную обратную и мультипликативную обратную. Вы заметите, что двоичного вычитания нет в списке. Выражение 10 - 9 - 8является просто сокращением для 10 + -9 + -8, и поскольку сложение ассоциативно, вы можете начать с добавления -9 и -8 (или даже 10 и -8, так как оно тоже коммутативно). Математики не говорят о свойствах вычитания, таких как неассоциативность или «левая ассоциативность», потому что в математике вычитания просто нет . Реальными операциями являются сложение и обратная аддитивность.

Двоичный -- это, по крайней мере, инфиксный оператор, например, +следование четко определенным правилам. Но косая черта деления /(которая также может быть написана ÷, хотя в наши дни это не так) вообще не является инфиксным оператором. Это просто типографски повернутая версия горизонтальной разделительной линии для случаев, когда вертикальное пространство в большом почете. Если вам повезет, наборщик поставит числитель и знаменатель на разную высоту, чтобы не было двусмысленности — например, ¹ / ₂ ·x может означать только (1/2)·x, а ¹ / _2·xможет означать только 1/(2·x) – иначе они будут широко использовать круглые скобки, как это сделал я. Но достаточно часто они этого не делают, и вам просто нужно догадаться или узнать по опыту, каково предполагаемое значение.

Трудно найти примеры, потому что вы не можете найти их в Google. Я произвольно решил просмотреть некоторые статьи (в соавторстве) с Теренсом Тао , потому что он один из самых уважаемых и прославленных активных математиков, поэтому он пользуется большим авторитетом.

• В «Простые числа содержат произвольно длинные арифметические прогрессии» (с Беном Грином; знаменитая статья, доказывающая то, что часто называют теоремой Грина-Тао), появляется обозначение ℤ/Nℤ . Это очень распространенное обозначение; это означает ℤ/(Nℤ) , но вы никогда не увидите его со скобками, потому что любой, кто знает математику достаточно, чтобы понять это со скобками, также знает, что это значит без скобок. Это, возможно, не лучший пример, потому что / не является обычным делением и никогда (по моему опыту) не пишется как горизонтальная линия.

• В той же статье появляются выражения вида N ^−1/2+ε ; это означает N ^(−1/2)+ε .

• В той же статье на странице 36 выражение 1/2 ^k (k+4)! появляется. Я думаю, это означает 1/(2 ^k ((k+4)!)) .

• В той же статье на странице 46 появляется выражение 1/6m . Я не уверен, что это значит, но я предполагаю, что это 1/(6m) .

• В Асимптотическом распределении одного пробела собственного значения матрицы Вигнера формула log n / 2π² появляется несколько раз; Я думаю, это означает log (n/(2π²)) .

Мне бы хотелось найти примеры, где 1/2x означает (1/2)x, а 1/1+x означает 1/(1+x), потому что на самом деле я хотел подчеркнуть неоднозначность записи. Но это то, что я нашел за то количество времени, которое мне хотелось потратить на это.

То, что я обнаружил, подтверждает, что то, что Леннес писал о значении слова «в реальном мире» ÷в 1917 году, верно и /сегодня. Принципиально ничего не изменилось. Это также подтверждается моим многолетним опытом чтения статей по математике, но я не могу ссылаться на это как на ссылку.

По какой-то причине другой ответ Дмитрия Вулиса на этот вопрос занимает жесткую позицию, согласно которой a/bc всегда означает (a/b)c, и любой, кто не согласен, является дураком. Это просто неправда. Реальность такова, что a/bc обычно в статьях профессиональных математиков означает a/(bc); в то время как в арифметике начальной школы это вообще ничего не значит.