Совершил ли Эйлер элементарную ошибку √-2 √-3 = √6?

Следующий отрывок взят из «Анализ зрительных комплексов» Тристана Нидхэма.

Даже в 1770 году ситуация все еще была достаточно запутанной, чтобы такой великий математик, как Эйлер, мог ошибочно утверждать, что √-2 √-3 = √6.

Я нашел это немного надуманным. Простой поиск в гугле ничего не дает. Верно ли это утверждение?

См. ответ Эндрю Уайлса на вопрос учителя средней школы. Особенно на базовом уровне люди зацикливаются на том, что является «правильным определением», а не понимают, что существует некоторая произвольность в том, как мы выбираем определения.
Я не понимаю, почему это называется "элементарной ошибкой", когда в такую ​​математику не вникаешь примерно до 10-го класса!
Я уверен, что почти любой современный работающий математик счел бы любую путаницу с чем-то вроде этого (или даже с большинством других предметов 10-го класса) довольно «элементарным». Конечно же, это не так в историческом контексте времен Эйлера!
@DanielRHicks, меня, честно говоря, интригует, когда я что-то читаю и не могу понять, шутит ли человек. Потом ищу знаки и вижу восклицательный знак. Это определенно что-то значит. Но что?
И math.stackexchange.com/questions/144364/… ; ответ последнего q на самом деле затрагивает этот вопрос больше, чем другой.

Ответы (2)

Эйлер написал это, но это не было ошибкой! Утверждение Эйлера было правильным в соответствии с его собственным определением используемых им обозначений.

Я просмотрел PDF-версию Elements of Algebra , связанную с ответом SCappella .

Читая раздел I главы XIII, я обнаружил, что Эйлер писал, что большинство чисел имеют два квадратных корня, что соответствует определению фразы «квадратный корень», используемой современными математиками [1] . Он также писал, что знак квадратного корня √ обозначает оба квадратных корня, что не соответствует определению √, используемому современными математиками [2] , но на самом деле не является неверным.

Вот что он написал:

  1. Ранее мы заметили, что квадратный корень из любого числа всегда имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное; что √4, например, равно и +2, и -2, и что, вообще говоря, мы можем взять -√a, а также +√a для квадратного корня из a. Это замечание относится и к мнимым числам; квадратный корень из -a равен как +√-a, так и -√-a; но мы не должны смешивать знаки + и -, которые стоят перед корневым знаком √, со знаком, который следует за ним.

(На самом деле, приведенное выше содержит ошибку. Эйлер утверждает, что каждое число имеет два квадратных корня; на самом деле каждое число имеет два квадратных корня, кроме 0, у которого есть только один квадратный корень, равный 0. Источник: [3 ] . )

Отрицательные числа имеют два квадратных корня, один из которых имеет положительную мнимую составляющую, а другой — отрицательную мнимую составляющую. В настоящее время математики используют √ для обозначения только одного или другого в соответствии с некоторым правилом [2] , но мы можем видеть, что для Эйлера это означало бы либо квадратный корень.

В частности, Эйлер считал, что √6 означает либо положительный, либо отрицательный квадратный корень из 6.

Так, в обозначениях Эйлера уравнение (√-2)(√-3) = √6 означало, что «любой квадратный корень из -2, умноженный на любой квадратный корень из -3, является квадратным корнем из 6», что полностью верно [4] . ] .

Некоторые современные математики интерпретируют (√-2)(√-3) = √6 как бессмысленное, потому что они вообще отказываются давать выражениям √-2 и выражению √-3 какое-либо определение [5 ] .

Я думаю, что другие математики интерпретировали бы это как «квадратный корень из -2 с положительной мнимой составляющей ( i √ 2), умноженный на квадратный корень из -3 с положительной мнимой составляющей ( i √ 3), является положительным квадратным корнем из 6 ", что является ложным утверждением [6] , но также и неверным прочтением того, что написал Эйлер.

Ссылки и доказательства:

  • [1]: Вайсштейн, Эрик В. « Квадратный корень ». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Квадратный корень из x — это число r такое, что r^2=x».
  • [2]: Там же. «Главный квадратный корень из [комплексного] числа z обозначается √z [...]». Источник не включает определение «главного квадратного корня», но ясно дает понять, что это функция, а это означает, что она имеет только одно значение.
  • [3]: Там же. «Любое ненулевое комплексное число z также имеет два квадратных корня».
  • [4]: Доказательство: предположим, что x является квадратным корнем из -2, а y является квадратным корнем из -3. Тогда по определению квадратного корня x 2 = -2 и y 2 = -3. Как следствие, ( xy ) 2 = x 2 y 2 = (-2) (-3) = 6. Это означает, по определению квадратного корня, что xy является квадратным корнем из 6.
  • [5]: Комментарий Дениса Нардина к этому ответу: «[Я] за всю свою (по общему признанию, короткую) карьеру математика я никогда не сталкивался с определением $\sqrt{-2}$: в целом это считается плохим заданный символ (что-то вроде $0/0$, если хотите)».
  • [6]: Мне не удалось найти источник определения главного квадратного корня из отрицательного числа. Однако было бы чрезвычайно странно определять √-2 и √-3 как что-либо кроме i √2 и i √3 соответственно. (Единственной альтернативой было бы определение √-2 как -i √2 или определение √-3 как -i √3 , что несовместимо с определением √-1 как i , а не как -i .) Имеем, таким образом, (√-2)(√-3) = ( i √2)( i √3) = i 2 (√2)(√3) = -(√2)(√3) = -√6, что отрицательно, а √6 положительно.
Теперь я хотел бы увидеть оригинальную (допереводную) версию, потому что кажется, что знак корня используется двумя разными способами между первым и вторым предложениями.
Обратите внимание, что невозможно взять i или -i в качестве «основного» квадратного корня из -1, как это возможно для положительных значений. Пример проблемы, которую это вызывает: 1 = √1 = √-(-1) = i√(-1) = i²√1 = -1
@DanielR.Collins Вы можете увидеть оригинальные публикации Эйлера на немецком языке в 1771 и 1802 годах.
@BlueRaja-DannyPflughoeft Отличный пример того, насколько глупой и бесполезной является вся эта чепуха о «главном» квадратном корне. Настаивать на том, что один из двух возможных квадратных корней числа является более особенным, чем другой, по излишне педантичным причинам — вот почему некоторые люди ненавидят математику.
«На самом деле, приведенное выше действительно содержит ошибку. Эйлер утверждает, что каждое число имеет два квадратных корня; на самом деле каждое число имеет два квадратных корня, кроме 0, у которого есть только один квадратный корень, равный 0». - Не обязательно; вы можете использовать систему счисления, которая включает ноль со знаком
@aroth Верно. В комплексных числах 0 имеет только один квадратный корень (в отличие от любого другого комплексного числа, у которого их два). Существуют и другие системы счисления, в которых 0 имеет два квадратных корня; кроме IEEE 754, я не знаю ни одного из изученных.
Насколько я знаю, не существует какого-либо общего соглашения о том, что является «квадратичным корнем» из отрицательного числа, и текущее использование состоит в том, чтобы использовать $\sqrt{x}$ только для неотрицательных $x$ (как вы, конечно, знаете невозможно сделать последовательный выбор квадратного корня для каждого комплексного числа из-за препятствия монодромии).
@CarlLeth нет, это отличный пример того, насколько глупо может быть бездумно распространять идентификаторы, которые работают для действительных чисел, на сложный домен. А "ерунда" выбора главной ветки - единственный разумный способ работы с квадратным корнем как с функцией . Мультифункции, такие как квадратный корень Эйлера, являются отличным источником головной боли для тех, кто просто пытается что-то вычислить и не получает ±f(±g(±x)) в качестве ответа (при этом фактические знаки отдельных символов ± не обязательно коррелируют) .
Ух ты! Я думал, что претензия, должно быть, была полностью воображаемой!
«Сегодня математики используют √ для обозначения только верхнего квадратного корня» --- я бы не был так уверен. Большинство математиков просто избегали бы извлечения квадратных (или даже) корней из отрицательных вещественных чисел (без явного указания главного значения, которое они рассматривают).
Это немного иронично: большей ошибкой было записать квадратный корень из 2, так как он не мог знать, что это число существует; ему следовало дождаться, пока Дедекинд придет в себя первым.
Квадратный корень из нуля можно рассматривать как «двойной корень». У него два корня, оба равны 0. См. < en.wikipedia.org/wiki/Multiplicity_%28mathematics%29 >.
На самом деле 0 также имеет 2 квадратных корня, значение 2 квадратных корней оказывается таким же. Это верно в математике, что если нет разницы между двумя вещами, то есть одно и то же, но это теория множеств, в программировании с массивами у вас вполне может быть n элементов, которые имеют одинаковое значение. Необходимо проводить различие между значением объекта и самим фактическим объектом, есть 2 корня, их значение одинаково, но также можно сказать, что существует бесконечно много корней, значение которых равно 0. Это проблема, аналогичная тому, что 1 является исключены из простых чисел.
Это очень хороший ответ. Однако, вопреки вашему последнему предложению, я бы не хотел использовать √-2 для обозначения одного единственного числа.
Как можно проголосовать за этот ответ, если вы сами сделали выводы вместо того, чтобы ссылаться на достоверный источник? Там нет внешней ссылки. Это все только в вашем уме, так что на этом сайте это не считается. Мои ответы, связанные с математикой и логическим мышлением, были удалены.
@CarlLeth Да, люди ненавидят математику, потому что кто-то настаивает на предпочтениях. Не потому, что математика чертовски сложна, и они просто хотят напиться и повеселиться. хD
@Ruslan А как в общем случае "выбрать главную ветвь" в задаче, которую еще не знаешь, как решить? BlueRaja показал, что вы не можете работать с отрицательными числами. Положительное число не всегда является правильным выбором. Если вы выберете один, вам, по крайней мере, нужно обосновать отказ от другого; вы не можете просто игнорировать это. Если вам действительно нужно, чтобы √ была функцией, тогда работайте в области мультимножеств, поэтому √{4} = {2, -2}. Все эти разные ветки в вашем примере могут быть важны!
@CarlLeth Типичный выбор главной ветви комплексной функции f состоит в том, чтобы убедиться, что f(exp(iα)) непрерывна при α=π¯. Выбрав его, вы не отбрасываете другое решение при решении уравнения, вы выражаете все решения через только что определенную вами однозначную функцию. Таким образом, решения x²=-1 теперь равны x=±√-1 с однозначной функцией квадратного корня. Точно так же вы можете получить все бесконечное множество решений sin(x)=a в терминах однозначной функции arcsin, а затем, при необходимости, выбрать одно из них, указав значение введенного вами параметра.
@deleteme Я мог бы указать источник любого утверждения в моем ответе (за исключением уравнений в последних двух абзацах, вместо которых мне пришлось бы предоставить доказательство). Есть ли какой-то конкретный источник, для которого вы хотели бы увидеть источник? Кстати, мне интересно увидеть ваш ответ; Я мог бы дать некоторое представление о том, почему он был удален.
@TannerSwett: с репутацией 703 вы, вероятно, не увидите удаленный ответ. В любом случае. Удачи.
@Tanner Swett, пожалуйста, отредактируйте свой ответ и укажите «источник любого из утверждений». И, возможно, доказательство уравнений в последних двух абзацах.
@danzel Я добавил пару ссылок и доказательств.
@TannerSwett Ценой повторения, я должен возразить против вашего примечания 5: «было бы чрезвычайно странно определять $\sqrt{-2}$ как что-либо, кроме $i\sqrt{2}$», это не половина это: за всю мою (по общему признанию короткую) карьеру математика я никогда не сталкивался с определением $\sqrt{-2}$: в общем случае это считается некорректным символом (вроде $0/0$, если хотите) . Я не сомневаюсь, что это условность в вашей области, но предполагать, что она широко распространена, означает неверно представлять ситуацию.
Трудно понять, почему Эйлер говорит, что значение √-2, умноженное на √-3, равно √6 (не говоря о том, что оно может быть -√6), а произведение √-3 на √-3 должно быть -3 (не говоря о том, что можно 3)
@DenisNardin Если у вас когда-либо была карьера математика, то ваша карьера математика была длиннее моей. :) Я отредактировал свой ответ, чтобы он утверждал, что некоторые, а не все, математики дают определение √-2. Как вы думаете, сейчас все выглядит нормально?

Эйлер утверждал, что √-2 √-3 = √6. Является ли это ошибкой, во многом зависит от контекста. Это появляется в публикации Эйлера 1770 года «Элементы алгебры» в разделе I, главе XIII. (ссылка в пдф) .

  1. Более того, поскольку √a, умноженное на √b, дает √ab, мы будем иметь √6 для значения √-2, умноженного на √-3 ; и √4 или 2 для значения произведения √-1 на √-4. Таким образом, мы видим, что два мнимых числа, умноженные вместе, дают действительное или возможное число. Но, наоборот, возможное число, умноженное на невозможное, всегда дает мнимое произведение: так, √-3 на √+5 дает √-15.

Эйлер, Элементы алгебры , стр. 43-44 (выделено мной).

Обратите внимание, что ранее в этой главе Эйлер правильно умножал квадратные корни из отрицательных чисел.

  1. Первая идея, которая приходит на ум по данному предмету, состоит в том, что, например, квадрат √-3 или произведение √-3 на √-3 должно быть -3; что произведение √-1 на √-1 равно -1; и вообще, что, умножая √-a на √-a или взяв квадрат √-a, мы получаем -a.

Эйлер, Элементы алгебры , стр. 43.

Изменить: как отмечено в другом ответе, Эйлер также принимает соглашение о том, что √a относится как к положительному, так и к отрицательному корню, что делает √-2 √-3 = √6 просто вводящим в заблуждение, но не ошибочным. √-1 √-4 = 2 еще больше вводит в заблуждение, но все же верно.

Опять же, Эйлер правильно использует комплексные числа в другом месте той же работы и отказывается от соглашения о двузначных квадратных корнях в пользу соглашения об использовании «±». Например, в разделе IV главы XI мы имеем

[...] этот последний фактор дает x² + 2x = -3; следовательно, x = -1 ± √-2;

Эйлер, Элементы алгебры , стр. 255.

где два квадратных корня из -2 правильно различаются, а не записываются как x = -1 + √-2 и используют двузначный квадратный корень.

Это делает этот конкретный отрывок, где Эйлер говорит скорее имплицитно, чем явно. Однако, увидев больше доказательств, я не буду утверждать, что это ошибка.

Честно говоря, это sqrt (6)... с коэффициентом -1.
Это действительно квадратный корень из 6, но не " обычный " (т.е. главное значение)
Да, иногда sqrt(x) используется для обозначения +-sqrt(x). И остальная часть текста касается только того, является ли значение реальным или мнимым, а не положительным или отрицательным.
$\sqrt{-2}$ может так же легко означать один квадратный корень из -2, как и другой, поскольку Эйлер не дает никаких явных замечаний о том, какой корень он имеет в виду. Таким образом, можно взять $\sqrt{-2}$ как $-i\sqrt2$ и $\sqrt{-3}$ как $i\sqrt3$, а произведение будет (положительным) действительным $\sqrt6$.
Вы можете увидеть это в оригинальных публикациях Эйлера на немецком языке в 1771 и 1802 годах.
Этот ответ создает впечатление, что Эйлер действительно ошибся, хотя на самом деле он был совершенно точен и прав. Не объясняя изменение определения с тех пор, этот ответ вводит в заблуждение так же, как и исходное утверждение, и за него следует сильно отказаться, не получив чистую оценку 18...
С √-1 √-4 = 2 мы выходим из области заблуждения. Поскольку √-1 √-4 = -2 имеет такое же обоснование, мы приходим по транзитивности = при 2 = -2. Это можно решить, только переопределив знак равенства, по крайней мере, в той же степени, что мы обычно делаем в контексте нотации с большим О.
@HagenvonEitzen Следовательно, почему математика имеет четкое различие в определении эквивалентности (≡) и равенства (=)
Совершил ли Эйлер элементарную ошибку √-2 √-3 = √6?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v