К вопросу о квантовании свободного ЭМ поля

Поскольку$\textbf{E}$и$\textbf{B}$поля не являются каноническими переменными — это$A_\mu$которые появляются в лагранжиане/гамильтониане. Следовательно, это те переменные, которые могут иметь канонические коммутаторные соотношения. Вы можете иметь только коммутаторное соотношение$[\hat{A}, \hat{B}] = i \hbar$если$\hat{A}$и$\hat{B}$канонически сопряжены.

Во многих учебниках есть довольно стандартное упражнение, где вы вычисляете «импульс» для лагранжевой теории поля, и оказывается, что он плохо определен (на самом деле, это связано с тем, что классические лагранжевы теории поля являются мультисимплектическими). , и есть работа над этим, проделанная Марсденом и его командой еще в конце 90-х, которую стоит прочитать, если вы хотите ее понять). Но вы все равно можете выбрать один и назвать его сопряженным импульсом, а поскольку лагранжиан всегда включает векторный потенциал, импульс также должен включать векторный потенциал (на самом деле, его производные). Перечисленный вами вариант разложения по плоским волнам наиболее удобен для свободных полей, но ничто не мешает вам сделать это и со сферическими волнами или каким-то другим полным базисом.