Эквивалентность классического и квантованного уравнений движения для свободного поля

Предположим, что нет никаких препятствий для квантования, проблем с порядком и т. д. Это совершенно нормально в большинстве физических случаев, и я думаю, что это делает ответ более понятным.

Ответ состоит из двух частей:

1. Учитывая, что квантовый гамильтониан есть не что иное, как классический гамильтониан со шляпами в полях и импульсах $$\hat H=H_{cl}\, (\hat \Pi , \hat \Phi)$$ и что он рецепт Дирака держит $$[\cdot, \square]=i\hbar \{\cdot , \square\}$$ с точкой и квадратом любого поля или импульса, то ясно, что классическое и квантовое уравнения движения в картине Гейзенберга формально совпадают.
2. Если уравнения движения линейны в полях, то предыдущая формальная эквивалентность дополнительно «действительна», а именно: средние значения полей эволюционируют подобно классическим полям. Это теорема Эренфеста.

Пример. Для простоты рассмотрим следующую квантово-механическую задачу (обобщение на КТП сразу):

$$H_{cl} (P,Q)= {P^2\over 2}+{Q^2\over 2}+g{Q^3\over 3}$$ со стандартными скобками Пуассона. Обратите внимание, что это гармонический осциллятор (в некоторых удобных единицах, где масса и частота установлены равными 1) плюс член взаимодействия. Классическое уравнение движения получается, как вы хорошо знаете (взяв скобки Пуассона с гамильтонианом) и в форме второго порядка: $$\ddot Q + Q + gQ^2=0$$ Пока все классически. Теперь квантовый гамильтониан просто: $$\hat H= H_{cl}\, (\hat P , \hat Q)= {\hat P^2\over 2}+{\hat Q^2\over 2}+g{\hat Q^3\over 3}$$ с каноническими коммутационными соотношениями, полученными из рецепта Дирака. Мы на картинке Гейзенберга. Как вы должны убедиться (взяв коммутаторы с гамильтонианом), квантовое уравнение движения имеет вид: $$\ddot {\hat Q} +\hat Q + g\hat Q^2=0$$
Это предыдущая первая часть; как видите, оба уравнения формально одинаковы.

Однако физически — а не формально — нас интересует эволюция средних значений наблюдаемых, а не эволюция собственных операторов.$\hat Q$в картине Гейзенберга (эти операторы не зависят от времени в картине Шредингера, и физика не может зависеть от картины, которую люди решают использовать). Итак, мы можем взять математическое ожидание предыдущего уравнения в общем состоянии$|\Psi \rangle$

$$\frac{d^2}{dt^2} {\langle \Psi |\hat Q|\Psi\rangle }+\langle \Psi |\hat Q|\Psi\rangle + g\langle \Psi |\hat Q^2|\Psi\rangle =0$$ Обратите внимание, что, поскольку мы находимся в картине Гейзенберга, физические состояния не развиваются во времени, и мы можем выписать производные по времени из ожидаемого значения. Большой вопрос: подразумевает ли это уравнение, что ожидаемое значение квантовой наблюдаемой (физической вещи) эволюционирует классически? И ответ резко отрицательный, потому что: $$\langle \Psi |\hat Q^2|\Psi\rangle \neq\langle \Psi |\hat Q|\Psi\rangle ^2$$ то есть: в общем случае ожидаемое значение квадрата не является квадратом ожидаемого значения (разница представляет собой квадрат стандартного отклонения или неопределенности).

в$g=0$в случае отсутствия последнего члена уравнение является линейным и эволюция значения квантового среднего является классической. То есть звонить$q\equiv \langle \Psi |\hat Q|\Psi\rangle$:

$$\ddot q + q=0$$ которое является классическим уравнением (с $g=0$).