Как это пропозициональное доказательство имеет смысл?

Как следующее доказательство аргумента является действительным и имеет смысл?

1. (R • C)  [It is raining and It is cloudy]
2. ~R [It is not raining]  
Therefore, S [It is snowing]

Согласно доказательству от противного,

3. Let ~S as our assumption
4. R {Using AND Simplification rule break 1)
5. C {Using AND Simplification rule break 1)
6. S {From 3, 2 contradicts 4}

В нем говорится, что если не идет дождь, то идет снег, что для меня не имеет смысла, но как математически доказательство становится действительным?

Будьте в курсе! Там сказано: "если идет дождь и... и не идет дождь, то идет снег".
Итак, когда в любом рассуждении посылки противоречат заключению, они не имеют силы? Я думаю, что аргумент следует считать недействительным в таких случаях. Это ничем не отличается от того, чтобы просто сказать1.) R 2.) ~R 3.) X.
??? Из R вы не можете вывести ¬R с помощью действительного правила. Но если посылки противоречивы, т.е. содержат противоречие, как R ∧ ¬R , то можно вывести абсолютно все что угодно: S , ... а также R , как и ¬R .

Ответы (3)

Это применение правила Reductio Ad Absurdum .

RAA — это формулировка принципа доказательства от противного: если из гипотезы ¬ϕ выводится противоречие , то получается вывод ϕ (без гипотезы ¬ϕ ):

предположим ¬ ϕ --- шаг 3)

вывести противоречие: ⊥ --- в этом случае шаги 2) и 4)

завершите «отвержением» предположения, т . е. ϕ --- шаг 6).

Если мы согласны с функциональным определением связок (в соответствии с классической логикой), справедливо правило : если мы получаем противоречие из предположения ¬ ϕ , это означает, что ¬ ϕ ложно .

Затем, путем двойного отрицания , ϕ должно быть истинным .

По сути, это правило эквивалентно правилу устранения двойного отрицания :

¬¬ ϕ ⊢ ϕ .

Интуиционизм отвергает этот тип аргумента как «ошибочный»: в интуиционистской логике RAA и двойное отрицание не являются действительными правилами вывода.

См. Также Ex falso quodlibet (или Принцип взрыва ):

любое утверждение можно доказать из противоречия.

Две посылки R ∧ C и ¬ R противоречат друг другу, а S в посылках нет; таким образом, доказательство показывает, что из противоречащих друг другу посылок мы можем вывести в качестве заключения абсолютно все что угодно.

С помощью этого логического закона мы можем вывести S более простым способом:

1) и 2): как указано выше

3) Р --- из 1)

4) R ∧ ¬ R --- из 3) и 2) введением конъюнкции

5) ⊢ R ∧ ¬ R → S --- Ex falso quodlibet

6) S --- из 4) и 5) по Mmodus ponens .

Примечание : Ex falso quodlibet интуитивно действителен. Для логики, которая не позволяет этого, смотрите Паранепротиворечивую логику .

Да, но какой вообще смысл имеет вывод "Идет снег"? Я думаю, что было бы более уместно, если бы это было "Не облачно".
@ user963241 - потому что две предпосылки R ∧ C и ¬R (уже) противоречат друг другу .
В таком случае я мог бы добавить в заключение любую чепуху, и аргумент был бы действительным.
@user963241 user963241 - вот что произошло ... S не присутствовал в предпосылках: таким образом, доказательство показывает, что из противоречивых предпосылок можно сделать абсолютно любой вывод.
Я не просто понимаю, как это вообще имеет логический смысл.
@ user963241 - вы можете увидеть этот пост для классически эквивалентных правил управления противоречиями и отрицанием .
Но выводом могла быть и любая буква, которая присутствовала в посылках. Есть ли способ распознать и избежать таких ситуаций?
Один из побочных эффектов правил пропозициональной логики заключается в том, что если вы когда-либо допускаете противоречие, то вы можете доказать что угодно, используя эту систему. Это просто особенность определения формального языка (многие из наших логических систем делают это... одна из причин, по которой логика иногда может быть опасным инструментом). Два подхода, которые могут избежать этого, вызывая проблемы: первый заключается в том, чтобы быть осторожным с тем, какие аксиомы вы «непоколебимо считаете истинными», потому что, если туда прокрадывается противоречие, это «плохие новости» (такие противоречия могут возникнуть только в результате аксиом). , а не трюк в самом доказательстве)...
... второй подход состоит в том, чтобы признать, что такой вывод, как «идет снег», «полезен» только в том случае, если аксиомы верны. Вы всегда можете исследовать гипотетические ситуации, вроде той, что здесь, где на самом деле идет дождь, а не дождь, но они не применимы к реальности, пока вы действительно не найдете место, где и утверждение, и его отрицание можно с уверенностью принять за истинные (что существует философский закон эпохи Аристотеля, который предполагает, что это никогда не может произойти в реальном мире).
Вы всегда можете перефразировать это как утверждение «если», сделав вывод из аксиом. Вы можете сказать: «Если (идет дождь и облачно) и (нет дождя), то (идет снег)» и защищать это утверждение приведенным выше доказательством. Однако вам будет трудно найти ситуации, когда вы можете применить это (истинное) утверждение, потому что оно применимо только тогда, когда идет дождь, а не дождь.

Кант неоднократно обращался к этому вопросу, например, в « Критике чистого разума », A 789–91|B 817–19. Основная проблема этих апагогических аргументов заключается в том, что могут быть субъективные и/или неполные предположения, например, потому что мы забыли одно или просто не можем знать о нем вообще. В результате (логическая) истина этого доказательства может быть видна в рамках законов логики, но (эмпирическая) истина не может быть понята таким образом, чтобы она могла произвести знание in sensu strictu . Невозможно сказать что-то большее о правильности такого рода доказательства, чем «оно логически верно».

Эмпирическая истинность этих доказательств, понимаемых как знание о мире, основана на эмпирической истинности и полноте предпосылок. Вот почему с помощью этих средств можно рассуждать, но только о возможности предпосылок , если вывод включает в себя одну из них (= не противоречащую), а не истину.

Это основная проблема этого способа доказательства. О логической правильности этого доказательства см. выше. Особенно пункт "все можно вывести из противоречия".

Давайте попробуем сделать это понятным для вас.

Я уверен, что у вас бывали времена, когда шел дождь и было пасмурно.

Я уверен, что у вас также были времена, когда не было дождя.

Вы когда-нибудь сталкивались с ситуацией, что было (дождь и облачно) и в то же время было (дождя не было)? Я так не думаю. Это невозможно.

Вы когда-нибудь сталкивались с ситуацией, что шел (дождь и облачно), и в то же время шел (не шел дождь), И в то же время не шел снег? Я так не думаю. У тебя никогда не было и никогда не будет. Это так же невозможно.

Так что каждый раз, когда одновременно (дождь и облачно) и (не дождь) идет снег. Никогда не случится, что это неправда.

Хорошо, обычно, когда мы правильно говорим «если А и В, то С», вы обнаружите, что существует логическая связь между А, В и С. С часто возникает из-за А и В. Например, А = «Я иду через дождь", B = "У меня нет зонта", C = "Я промокну".

Бывают случаи, когда A или B могут быть несущественными: A = «Я иду под дождем без зонта», B = «Сегодня четверг», C = «Я промокну». Это по-прежнему верно, хотя В совершенно не имеет значения: но всякий раз, когда истинно «если А, то С», то «если А и В, то С» также будет истинным, независимо от того, что такое В.

Другая неожиданная ситуация возникает, когда C всегда истинно. A = «Я иду под дождем», B = «У меня нет зонта», C = «Название дня оканчивается на Y». Это правда, потому что С в любом случае истинно, поэтому «если А и В, то С» истинно, какими бы ни были А и В. (Интересно, если B = «Сегодня среда». C всегда верно, но это также верно из-за B).

И, наконец, ситуация, которая у вас здесь: А и Б не могут быть истинными одновременно. В этом случае «если А и В, то С» верно, независимо от того, что такое С.

Как это пропозициональное доказательство имеет смысл?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v