Я запутался в этом формальном логическом «доказательстве» [закрыто]

Вы заметили, что бывают дни, когда идет снег, но не идет дождь — где ~r&s, в прямом противоречии (дважды!) с аксиомой (2) . Мы можем только заключить, что эти дни не моделируются ни этой аксиомой, ни какой-либо системой аксиом, включающей ее.

В дни, соответствующие (2) , снег не идет, и поэтому s→r празднично. (См. ближе к концу связанный пост об условных суждениях в сентенциальной логике ).

Мы «работаем» с классической логикой, когда предполагаем, что r ∧ ~s эквивалентно : ~(r → s) [и поэтому: (r → s) эквивалентно : ~(r ∧ ~s) ].

Также тавтология : (r → s) ∨ (s → r) (называемая законом Даммета ) действительна только в классической логике.

Теперь, если мы применим приведенную выше эквивалентность к посылке (1), мы можем переписать ее как:

~(r ∧ ~s) ∨ ~(s ∧ ~r) .

Приняв: (r ∧ ~s) в качестве посылки (2), с помощью дизъюнктивного силлогизма мы «вынуждены» заключить:

~ (с ∧ ~ г)

что именно:

(с → г) .

Комментарий

Предполагая «контекст» классической логики, в вашем аргументе нет шагов, «где вы ошиблись».

Принимая тавтологию (1), вы допустили расхождение между двумя альтернативами:

«не (дождь без снега)», «не (снег без дождя)».

Это тавтология, т. е. логическая истина ; таким образом, это должно быть верно в каждой «ситуации».

Тогда имеем предпосылку (2):

"сегодня идет дождь, но не снег"

это не логическая истина; это «случайное» предложение, описывающее реальную ситуацию: сегодня у нас дождь без снега.

Логическими шагами мы пришли к (4):

«Если идет снег, значит, идет дождь».

Но мы должны воздержаться от ошибки: (4) является логическим следствием (1) и (2). Это означает, что оно должно быть истинным всякий раз, когда верны (1) и (2).

Но (2) не является логической истиной, т. е. не во всех возможных ситуациях; таким образом, и заключение (действительного) аргумента не является логическим законом, т. е. оно не истинно во всех возможных ситуациях.

Мы можем заключить, что (4) верно в ситуации, «описываемой» (2) [(1) не влияет, поскольку верно «везде»; а не во всех возможных ситуациях: вы заметили что «зимой бывают дни, когда идет снег, но не идет дождь».

Это «решение» головоломки.

Предполагая (2), мы соглашаемся с ложностью s , потому что единственный способ удовлетворить (r ∧ ~s) — это когда оба r и ~s истинны , т. е. когда r истинно , а s ложно .

Предполагая классическую логику, тот факт, что s ложно , дает нам право — в силу условий истинности условного предложения — утверждать, что (s → r) истинно .

Вы неправильно ввели элемент времени в свой аргумент и путаете утверждения типа « снег идет сейчас » с утверждениями типа « каждый раз, когда идет снег » .

Ваше утверждение «R» действительно должно быть « сейчас идет дождь », а «S» — сейчас идет снег .

Либо сейчас идет дождь -> сейчас идет снег, либо сейчас идет снег -> сейчас идет дождь . Почему? Потому что все вещи подразумевают истинное утверждение, а ложное утверждение подразумевает все вещи. Если дождь сейчас истинен, то любое другое утверждение будет подразумевать это. Если оно ложно, то оно подразумевает любое другое утверждение (в том числе сейчас идет снег ).

Однако ни в том, ни в другом случае мы не установили существенной связи между дождем и снегом. R -> S НЕ означает, что каждый раз, когда идет дождь, идет снег .

Короче говоря, вы сказали логической системе, что снег не идет. Ваше утверждение (4) как раз и есть принцип взрыва в действии: если идет снег (и, как вы уже сказали системе, тоже не снег) то черное это белое, я папа и, да, тоже дождь.

Если «А ложно» принимается за посылку, то «А-> как вам угодно» — это теорема, потому что условие никогда не выполняется.

Изменить: вот доказательство

(1) ~А

(2) ~A v Как бы там ни было (путем введения дизъюнкции)

(3) A-> Как вам угодно (по материальному смыслу)

Там более простой аргумент, который приводит к такому же сложному.

Предположим, что сегодня не идет снег "~s". Тогда, учитывая «если не s, то если s, то r» [~s->(s->r)] как аксиому или теорему (тезис), и отстраненность или «modus ponens», то следует, что «если это то сегодня идет снег, то сегодня идет дождь». Что приводит к таким же трудностям, верно? Что ж, выведенное здесь утверждение происходит в рамках допущения ~s. Более формально:

axiom             1 [~s->(s->r)]
assumption        2 | ~s
detachment (2, 1) 3 | (s->r)

Или вы можете добраться туда таким образом:

axiom             1 [r->(s->r)]
assumption        2 | r
detachment (2, 1) 3 | (s->r)

Но обратите внимание, что эти выводы здесь верны только в рамках некоторого предположения. Они не выходят за рамки некоторого предположения. Когда вы написали это «Но это неправда, что «если идет снег (сегодня), то идет дождь (сегодня)», вы говорили вне рамок предположений о том, идет ли снег (сегодня) или дождь (сегодня). Вы ошиблись, забыв о масштабах сделанных выводов.

Помните, что, вопреки популярному (неправильному) использованию, импликация не имеет ничего общего с причиной и следствием.

Дождь => Облачно

«Идет дождь, значит, облачно» не означает, что дождь вызывает облачность или что облачность (сама по себе) вызывает дождь.

Это просто означает, что никогда не бывает так, что идет дождь и не облачно. Допускаются любые другие варианты: дождь и облачность, отсутствие дождя и облачность или отсутствие дождя и облачность.

В качестве альтернативы мы можем сказать, что дождь является достаточным условием для облачности или что облачность является необходимым условием для дождя.

Мы определяем A => B как просто ~[A и ~B] или, что то же самое, ~A или B.

Таким образом, мы можем переписать [R => S] или [S => R] более интуитивно как [R и ~S] => [~S или R].

Одиночное значение этой формы обычно легче читать.

Я считаю, что ваш аргумент совершенно корректен как формальная (классическая) логика.

Вы хотите доказать дизъюнкт AV B.

Вы делаете это, предполагая не (А) и заключая Б.

Ваша путаница возникает из-за того, что вы приписываете смысл утверждениям A (= r-> s) и B (= s -> r).

С логической точки зрения не имеет значения, означает ли дождь снег или снег означает дождь. В самом деле, оба эти утверждения явно ложны в их обычном употреблении.

Условное, с которым вы имеете дело, является материальным условным. Его таблица истинности выглядит следующим образом

s    r     s->r
T    T     T
T    F     F
F    T     T
F    F     T

Итак, конечно же, (4) верно: это материальное условное предложение с ложным антецедентом; ничто в том, что s не имеет места, не может сделать ложным утверждение, что если s, то r. Замешательство по поводу этой строки таблицы истинности материального условного предложения повторяется в Philosophy SE. Оглянитесь вокруг, и вы найдете другие связанные вопросы.