Как группа Лоренца связана со спином? [закрыто]

Двухзнаковые представления группы Пуанкаре

Заметим, что на пространстве физических состояний реализуются проективные представления группы Пуанкаре.

А именно, для действия двух унитарных операторов группы Пуанкаре можно записать, что

$$\tag 1 U(\Lambda_{1})U(\Lambda_{2}) = e^{i\varphi (\Lambda_{1}, \Lambda_{2})}U(\Lambda_{1}\Lambda_{2})$$ где $\varphi (\Lambda_{1}, \Lambda_{2})$называется проективной фазой. Возникает вопрос: можно ли переопределить генераторы $P_{\mu}, J_{\mu \nu}$(последняя представляет собой алгебру группы Лоренца) группы Пуанкаре, так что фаза исчезнет из коммутационных соотношений.

Существует теорема о том, что проективные представления можно свести к обычным, если

1) группа односвязная;

2) Возможны только такие решения для фаз$\varphi$для которых они могут быть полностью поглощены переопределением генераторов (фазы должны удовлетворять условиям ассоциативности для операторов и тождеству Бьянки для генераторов).

Группа Пуанкаре удовлетворяет второму условию, но с первым возникает проблема. В самом деле, можно показать, что группа Лоренца (ее собственная подгруппа) просто

$$\text{SO}^{\uparrow}(3,1) \simeq \text{SL}(2,C)/Z_{2}$$ Далее топология $\text{SL}(2,C)$равен одному из $SU(2)\times SU(2)$, который $S_{3}\times S_{3}$. Первая гомотопическая группа $S_{3}\times S_{3}/Z_{2}$отлична от нуля, и группа двусвязна. По близкой аналогии группа Пуанкаре имеет топологию $R^{4}\times S_{3}\times S_{3}/Z_{2}$(вам просто нужно добавить абелевское групповое пространство перевода $R^{4}$), который снова двусвязен.

Это приводит к утверждению, что фаза может быть только$\pm 1$. Так$(1)$принимает форму

$$\tag 2 U(\Lambda_{1})U(\Lambda_{2}) = \pm U(\Lambda_{1}\Lambda_{2}),$$ и имеем утверждение о реализации двухзнаковых групповых представлений Пуанкаре (Лоренца) о физических состояниях.

Чтобы не заботиться о$\pm$знак, мы можем просто расширить группу Лоренца до$\text{SL}(2,C)$, как вы упомянули.

Ваш специальный вопрос

Предыдущий пункт моего ответа (группа Лоренца и спин) необходим,

Итак, давайте ответим на ваш вопрос, используя ранее обсужденные вещи. Как упоминалось ACuriousMind в разделе комментариев, изоморфизма нет.

$$\text{SO}(3,1)\simeq \text{SU}(2)\times \text{SU}(2)$$ Однако существует изоморфизм $$\text{SO}(3,1) \simeq \text{SL}(2,C)/Z_{2} \simeq \text{SU}(2)\times \text{SU}(2)/Z_{2}$$ Позвольте мне описать простой способ, как можно получить второе равенство, а именно, $$\text{SO}(3,1) \simeq \text{SU}(2)\times \text{SU}(2)/Z_{2},$$ так как это ответит на ваш вопрос.

Вы начали с генераторов группы Лоренца, бустеров,$K_{i}$, и вращения,$R_{i}$. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

$$[R_{i},R_{j}] = i\epsilon_{ijk}R_{k},\quad [K_{i},K_{j}] = i\epsilon_{ijk}R_{k},\quad [K_{i},R_{j}] = -i\epsilon_{ijk}K_{k}$$ Давайте введем новые операторы, $$\tag 3 P^{\pm}_{i} =\frac{1}{2}(R_{i}\pm K_{i})$$ Они образуют алгебру $$[P^{\pm}_{i}, P^{\pm}_{j}] = i\epsilon_{ijk}P_{k}, \quad [P_{i}^{\pm},P^{\mp}_{j}] = 0$$ Так $P^{+}, P^{-}$генераторы удовлетворяют $SU(2)$групповая алгебра. Это, однако, не означает, что группа Лоренца изоморфна $SU(2)\times SU(2)$. Это означает, в частности, что только часть $SU(2)\times SU(2)$представления являются одними из $SO(3,1)$. Только используя аргумент из первого раздела моего ответа (существуют двухзнаковые представления группы Лоренца о физических состояниях), вы можете использовать иррецепты группы $\text{SU}(2)\times \text{SU}(2)$для классификации физических состояний.

Ирпосты$SU(2)$помечены целой или полуцелой меткой$\sigma$, и имеет размерность$2\sigma + 1$, т. е. они являются векторами

$$|s\rangle = \begin{pmatrix}s_{1}\\... \\s_{2\sigma+1}\end{pmatrix} : \quad \hat{C}|s\rangle = -\sigma(\sigma +1)|s\rangle ,$$ где $C$является оператором Казимира для $SU(2)$группа.

Так что безответно$SU(2)\times SU(2)$группу можно обозначить как$(\sigma_{1},\sigma_{2})$. Наконец, из определения у вас есть это

$$\frac{1}{2}(P^{+}_{i} +P^{-}_{i}) = R_{i},$$ где $R_{i}$является генератором вращения (и связанной с ним величиной, конечно же, является спин), а поскольку $$\sum_{i}R_{i}^{2} = C^{2}= -S(S+1) = (\frac{1}{2}(P^{+}_{i} +P^{-}_{i}))^{2},$$ у тебя есть это $$C^{2} = -(\sigma_{1}+\sigma_{2}+1)(\sigma_{1}+\sigma_{2}) = S(S+1)$$ Из этого равенства получаем, что вращение $(\sigma_{1},\sigma_{2})$является $S = \sigma_{1}+\sigma_{2}$.