Конечномерные представления группы Лоренца

[...] Однако, если я учту следующее:$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=(\frac{1}{2},0)\otimes(0,\frac{1}{2})$, я не понимаю, как его разложить. Я знаю, что это представляет собой четырехвекторное поле с временной скалярной составляющей (спин 0) и векторной составляющей (спин 1), но я действительно не понимаю, почему.

Нечего разлагать относительно полного$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$потому что спинорный тензор с одним индексом без точек и одним индексом с точками неприводим. На самом деле, вы должны написать его в обратном порядке и применить те же правила, что и для представлений 1-формы:

$$\left(\frac{1}{2},0\right)\otimes \left(0,\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$ , и это потому что$\frac{1}{2}+0 = \frac{1}{2}-0 = \frac{1}{2}$за оба срока.

Теперь вот что-то, что отвечает на ваш вопрос.$\mbox{SU}(2)$является собственной подгруппой$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$. Таким образом, можно спросить, является ли представление$\left(\frac12,\frac12\right)$, который, как я уже сказал, неприводим по отношению к$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$, возможно, приводима относительно$\mbox{SU}(2)$. Ответ положительный. Общая формула ниже

$$D^{(u,v)}|SU(2) \cong D^{(u)}\otimes D^{(v)} \cong \sum_{w=|u-v|}^{u+v}\oplus D^{(w)}$$

становится

$$\left(\frac12,\frac12\right)|_{\mbox{SU}(2)} \equiv D^0 \oplus D^1$$