От неприводимых представлений алгебры Лоренца к неприводимым представлениям группы Лоренца

Question

От неприводимых представлений алгебры Лоренца к неприводимым представлениям группы Лоренца

Физика
алгебра лжи
Лоренц-симметрия
специальная теория относительности
групповые представления
теория представлений

RGBA

В моих заметках к лекциям говорится, что нам необходимо классифицировать все конечномерные неприводимые представления правильной ортохронной группы Лоренца, чтобы сформулировать КТП для частиц с ненулевым спином.

Это делается путем характеристики алгебры Лоренца собственными значениями $a (a + 1)$ и $b (b + 1)$ квадрата операторов

\vec{А} "=" \frac{1}{2} (\vec{Дж} + я \vec{К}) \vec{Б} "=" \frac{1}{2} (\vec{Дж} - я \vec{К}),

$\vec{A} = \frac{1}{2} (\vec{J} + i \vec{K}) \\ \vec{B} = \frac{1}{2} (\vec{J} - i \vec{K}) ,$ где

\vec{J}

$\vec{J}$ является генератором вращения и

\vec{K}

$\vec{K}$ генератор бустов.

Затем соответствующее представление группы Лоренца получается путем взятия экспоненциального отображения конкретных операторов, таких как $\frac{\vec{\sigma}}{2}, 0$ для $a = \frac{1}{2}, b = 0$ .

Может $\vec{A}^2$ ан $\vec{B}^2$ следует понимать как Казимиров алгебры Ли или они имеют что-то общее с этим понятием (мне здесь не хватает понимания)?

Как я могу гарантировать, что взятие экспоненциального отображения неприводимого представления алгебры Ли даст мне неприводимое представление в соответствующей группе Ли?

Золото

Я задал связанный с этим вопрос по математике - math.stackexchange.com/q/2316362 - возможно, это поможет.

Qмеханик

Комментарий к вопросу (v2): Вы говорите об ограниченной группе/алгебре Лоренца или ее комплексификации?

RGBA

Честно говоря, я не могу сказать. Мы не погружались так глубоко в теорию групп в нашем курсе теоретической физики элементарных частиц. Я наткнулся на это усложнение при поиске здесь и в Википедии, но не смог обдумать это. Пожалуйста, не стесняйтесь объяснить, как эти вещи связаны!

Космас Захос

WP не поможет?

RGBA

Это более или менее отвечает на мой второй вопрос. Чего я до сих пор не понимаю, так это понятия этой части: «Однако вообще не всякое представление алгебры Ли происходит из представления группы. Этот факт лежит, например, в основе различия между целым спином и полуцелым спином в квантовой механике. ». Это относится к проективным представлениям, если я правильно понимаю, но я не понимаю статью о них, так как (как уже было сказано выше) мне не хватает какой-то математической подготовки. Не могли бы вы попытаться объяснить это или указать на хорошую ссылку?

ЙоханN7

Два хороших справочника по проективным представлениям — «Квантовая теория полей» Вайнберга, том I, глава 2 , и « Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение» Брайана Холла . (Первый не легко читается, но он охватывает бесконечномерные представления.) В Викиверситете также есть подробная версия статьи в Википедии о представлениях групп Лоренца . Это следует за конструкцией Холла.

Ответы (1)

От неприводимых представлений алгебры Лоренца к неприводимым представлениям группы Лоренца

Я задал связанный с этим вопрос по математике - math.stackexchange.com/q/2316362 - возможно, это поможет.
Комментарий к вопросу (v2): Вы говорите об ограниченной группе/алгебре Лоренца или ее комплексификации?
Честно говоря, я не могу сказать. Мы не погружались так глубоко в теорию групп в нашем курсе теоретической физики элементарных частиц. Я наткнулся на это усложнение при поиске здесь и в Википедии, но не смог обдумать это. Пожалуйста, не стесняйтесь объяснить, как эти вещи связаны!
Это более или менее отвечает на мой второй вопрос. Чего я до сих пор не понимаю, так это понятия этой части: «Однако вообще не всякое представление алгебры Ли происходит из представления группы. Этот факт лежит, например, в основе различия между целым спином и полуцелым спином в квантовой механике. ». Это относится к проективным представлениям, если я правильно понимаю, но я не понимаю статью о них, так как (как уже было сказано выше) мне не хватает какой-то математической подготовки. Не могли бы вы попытаться объяснить это или указать на хорошую ссылку?
Два хороших справочника по проективным представлениям — «Квантовая теория полей» Вайнберга, том I, глава 2 , и « Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение» Брайана Холла . (Первый не легко читается, но он охватывает бесконечномерные представления.) В Викиверситете также есть подробная версия статьи в Википедии о представлениях групп Лоренца . Это следует за конструкцией Холла.

Qмеханик · Answer 1

Конечномерный неприводимый
- (i) представления двойного покрытия $Spin^+(1,3,\mathbb{R})\cong SL(2,\mathbb{C})$ ограниченной группы Лоренца $SO^+(1,3;\mathbb{R})$ ,
- (ii) представления соответствующей алгебры Ли $so(1,3;\mathbb{R})$ ,
- (iii) проективные представления ограниченной группы Лоренца $SO^+(1,3;\mathbb{R})$ ,
все помечены двумя неотрицательными полуцелыми числами

$(a, b) \in \frac{1}{2} N_{0} \times \frac{1}{2} N_{0} .$

См. также, например , этот пост Phys.SE и ссылки в нем.
Если $a+b~\in~\mathbb{N}_0$ является целым числом, это также групповое представление ограниченной группы Лоренца $SO^+(1,3;\mathbb{R})$ сам.
$A_i$ и $B_i$ , $i\in\{1,2,3\},$ являются $3+3=6$ генераторы комплексифицированной алгебры Ли
$с о (1, 3; С) ≅ с л (2, С)_{А} \oplus с л (2, С)_{Б},$ $so(1,3;\mathbb{C})~\cong~sl(2,\mathbb{C})_A\oplus sl(2,\mathbb{C})_B,$ с квадратичными казимирами $\vec{A}^2$ и $\vec{B}^2$ .
Экспоненциальная карта $\exp: so(1,3;\mathbb{R})\to SO^+(1,3;\mathbb{R})$ ибо ограниченная группа Лоренца сюръективна, ср. например , этот пост Phys.SE.

От неприводимых представлений алгебры Лоренца к неприводимым представлениям группы Лоренца

RGBA

Золото

Qмеханик

RGBA

Космас Захос

RGBA

ЙоханN7

Ответы (1)

Qмеханик

Можно ли разложить алгебру Ли sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) в прямую сумму двух sl(2,R)sl(2,R)sl(2,\mathbb {Р})?

Алгебра Лоренца и ее образующие

Прямой продукт против тензорного продукта

Векторные пространства для неприводимых представлений группы Лоренца

Доказательство того, что (1/2,1/2)(1/2,1/2)(1/2,1/2) представление группы Лоренца является 4-векторным

Вывод неприводимых представлений группы Лоренца

Конечномерные представления группы Лоренца

Запрещены ли теории спина 1/4?

Значение генераторов Лоренца

Как группа Лоренца связана со спином? [закрыто]