Почему бы нам не построить спинор со спином 1/4?

Я изучаю квантовую теорию поля. Я понимаю, что решение уравнения Дирака имеет четыре состояния, и каждое соответствует спинору. Эти четыре состояния являются в точности собственными состояниями оператора спина, а их собственные значения равны +1/2 или -1/2. Но кажется, что я могу построить другой оператор (матрицу), может быть 8 на 8 или какие-то другие измерения. Соответствующие собственные значения этой матрицы, конечно, могут быть 1/4, 1/2, 3/4 и т. д. С этими собственными состояниями я также могу построить формулу и сделать собственные состояния решением этой формулы. Тогда у меня может быть спин 1/4 спинора. Я не понимаю, почему уравнение Дирака может быть таким особенным.

Привет ZHANG Juenjie, я удалил другие ваши подвопросы, ср. этот мета-пост.
Каков физический смысл спинора 1/4?
@ Сузу Хиросе Нет физического смысла. Но должен ли спин иметь математический смысл? Я имею в виду, есть ли что-то более глубокое за уравнением Дирака, которое заставляет уравнение выглядеть так, или это просто догадка, основанная на пробах и ошибках?

Ответы (1)

Нет такой вещи, как вращение 1 / 4 в четырехмерном пространстве-времени.

Спин связан с представлениями алгебры Ли Лоренца. Итак, позвольте мне пролить свет на то, как они классифицируются.

Во-первых, комплекснозначная алгебра Лоренца с о ( 1 , 3 ) эквивалентно с о ( 4 ) . с о ( 4 ) алгебре равен прямой сумме двух копий с ты ( 2 ) , что означает, что неприводимые представления с о ( 1 , 3 ) помечены упорядоченными парами неприводимых с ты ( 2 ) .

The с ты ( 2 ) теорию представлений можно найти в любом учебнике по группам Ли или даже в некоторых учебниках по КТП. Одним из решающих фактов является то, что неприводимые с ты ( 2 ) помечены неотрицательными полуцелыми числами, называемыми спинами:

Дж знак равно 0 , 1 / 2 , 1 , 3 / 2 , 2 , 5 / 2 , …

Этого достаточно, чтобы начать строить неприводимые алгебры Лоренца. Базовыми блоками теории представлений являются два фундаментальных представления ( 1 / 2 , 0 ) а также ( 0 , 1 / 2 ) которые называются соответственно левым и правым спинорами Вейля. Оба двумерные.

Спиноры Дирака на самом деле принадлежат 4-мерному приводимому представлению

( 1 / 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 / 2 ) .

Другим 4-мерным представлением является неприводимое ( 1 / 2 , 1 / 2 ) которым принадлежат 4-векторы.

Как вы можете видеть, это всего лишь теория представлений, в которой нет никакого спиннинга. 1 / 4 представление в 4-х измерениях пространства-времени.

Однако в 2 измерения пространства-времени это больше не действует, и существуют представления с дробными спинами.

Кажется, что ключи равны 1. SO(4) эквивалентно SU(2); 2. Неприводимые группы SU(2) помечены неотрицательными полуцелыми числами.
@ZHANGJuenjie почти так, да. За исключением «эквивалентной» части: с о ( 4 ) эквивалентен двум копиям с ты ( 2 ) .
Что вы имеете в виду, говоря «непреодолимый»? Не могли бы вы предложить какие-либо ссылки? Даже если я понимаю, что алгебраически спин 1/4 недопустим, я все равно не могу интуитивно понять, как эта штука связана со спином. Есть ли у вас какие-либо предложения или ссылки?
@ZHANGJuenjie также вы, вероятно, неправильно понимаете значение спин- 1 / 2 . Понимаете, это всего лишь соглашение. Вместо этого я мог бы назвать «вращением» то, что другие называют «вращением, деленным на два», что заставило бы спины Дирака вращаться. 1 / 4 в моей терминологии. Важным фактом является то, что существует дискретный набор ирпов, и нельзя добиться меньшего, но отличного от нуля спина, чем спиноры Дирака.
@Solenodon Paradoxus Что касается вашего последнего примечания, это означает, что, если предположить, что алгебра Лоренца (или инвариантность?), Двумерный случай поля Дирака исчезает?
Хотя дух этого ответа верен, вы должны быть осторожны, говоря, что алгебры «эквивалентны». Верно то, что конечномерные представления с о ( 1 , 3 ) а также с о ( 4 ) знак равно с ты ( 2 ) ⊕ с ты ( 2 ) подобные. Однако бесконечномерная теория унитарного представления (необходимая для классификации частиц по Вигнеру) не одинакова, поэтому они не эквивалентны для всех физических целей.
Почему бы нам не построить спинор со спином 1/4?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v