Как именно формализм термодинамики основан на контактной геометрии?

Вот результат:

1. С одной стороны, строго контактное многообразие $(M,\alpha)$это$(2n+1)$-мерное многообразие$M$оснащен глобально определенной единой формой$\alpha\in \Gamma(T^{\ast}M)$максимально неинтегрируемый

   $$\alpha \wedge (\mathrm{d}\alpha)^n~\neq~ 0.\tag{1}$$

   Представляет интерес найти подмногообразия$N\subseteq M$такой, что$TN\subseteq {\rm ker}(\alpha)\subseteq TM$. Такие подмногообразия максимальной размерности [которая оказывается$n$-мерные] называются лежандровыми подмногообразиями .

2. С другой стороны, первый закон термодинамики

   $$\mathrm{d}U~=~ \sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i \tag{2}$$ [куда$U$внутренняя энергия и$(q^i, p_i)$являются термодинамически сопряженными переменными ] дает контактную форму $$\alpha~:=~\mathrm{d}U- \sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i.\tag{3}$$ Конкретная термодинамическая система [с уравнением состояния] реализуется как лежандрово подмногообразие.

Использованная литература:

1. С.Г. Раджив, Формализм Гамильтона-Якоби для термодинамики, Анналы. физ. 323 (2008) 2265 , архив: 0711.4319 .

2. Дж. К. Баэз, Классическая механика в сравнении с термодинамикой, часть 1 и часть 2 , сообщения в блоге Azimuth, 2012 г.

в терминах, доступных для кого-то с «базовым» математическим образованием, таким как я (в основном, исчисление): как именно формализм термодинамики основан на контактной геометрии?

Из того, что я понимаю (мало), особенно из Баэза и Грмелы , логическая последовательность от термодинамики к контактной геометрии такова:

• классическая термодинамика
  -> вариационная формулировка (максимизация энтропии)
  -> дифференциальная геометрия (одноформенная)
  -> контактная геометрия.

Бит дифференциальной геометрии включает в себя риманову метрику и может принимать форму симплектической геометрии ( для четномерных многообразий) или контактной геометрии (для нечетномерных многообразий).

Узнать больше:

• Начиная с математики на уровне исчисления, Джон Денкер предлагает ввести дифференциальные формы и их применение в термодинамике .

• Саламон и др. в книге «Математическая структура термодинамики » предлагают довольно плавное введение в контактные многообразия в термодинамике.

• Начиная с дифференциальных форм, Мругала предлагает еще одно введение в предмет в книге « О контактных и метрических структурах термодинамических пространств» ( электронная печать ).

И есть очень актуальные ответы, обсуждения и ссылки на старые вопросы:

Введение в дифференциальные формы в термодинамике
Симплектическая геометрия в термодинамике
Сопряженные переменные в термодинамике против гамильтоновой механики

Я подозреваю, что вы ищете более низкокачественный ответ. Возможно, вы могли бы уточнить, почему это вас интересует, для контекста.

Мое мнение (а не моя сильная сторона физики) состоит в том, что речь идет о том, как рассматривать большие множества взаимодействующих вещей с определенными степенями свободы. Скажем, атомы гелия можно рассматривать как имеющие 3 градуса (ось xyz), атомы водорода, поскольку молекулы H2 имеют дополнительный способ вращения и удара (xyz + вращение вокруг центральной оси) и т. д., например. на растяжение и сжатие.

Поскольку термодинамика заключается в том, чтобы поддерживать неизменность одной вещи при изменении других вещей, в математическом пространстве, которое воплощает взаимодействия с определенными степенями свободы, вы собираетесь генерировать поверхности, где выполняется требование постоянства этих переменных, или многообразия.

Трюк создания математического пространства, в котором вы можете легче идентифицировать закономерности, часто используется в физике. Например, при создании лагранжиана или гамильтониана системы, которые как бы сводят все к основной динамике. Или, используя комплексные переменные (число + аналог мнимого числа), чтобы отслеживать различные типы вещей, выполняя математические вычисления для их комбинации. Я помню, как наслаждался моментом, когда понял, что можно взять уравнения орбит двух планет и составить новое уравнение, которое похоже на разрез орбит с точками; затем вы просто поворачиваете ручку, чтобы перемещать срез и смотреть, перекрываются ли какие-либо точки, и если они перекрываются, планеты в конечном итоге столкнутся, а орбиты не будут стабильными.

Математические пространства полезны. Взаимодействие больших наборов вещей сводится к геометрии. Отсюда контактная геометрия с многообразиями в «фазовом» или математическом пространстве.