Разделение переменных в различных УЧП, физический смысл

Вы забыли одну важную вещь, когда писали свою суперпозицию: отдельные$\psi_{k,\ell,m}(x,y,z)$являются собственными функциями гамильтониана с разными собственными значениями. Из-за этого суперпозиция больше не будет собственным состоянием. На самом деле, взяв подходящую суперпозицию, вы сможете получить любую понравившуюся вам функцию (в вашем случае с граничными условиями обращения в нуль на краю прямоугольника).

Но это точно так же, как и в вашем первом примере, если вы вспомнили, откуда взялось собственное значение (энергия): это когда вы делаете разделение переменных в зависящем от времени уравнении Шредингера.

$$H\psi=i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}.$$ Если вы включите соответствующую экспоненту, зависящую от времени, ваше окончательное уравнение покажет вам, как эволюционирует волновая функция, учитывая начальное состояние: $$\psi(x,y,z,t)=\sum_k\sum_\ell\sum_m c_{k,\ell,m}\psi_{k,\ell,m}(x,y,z)e^{\frac {-i E t}{\hbar}}.$$ В частности, на $t=0$вы получаете исходное уравнение, которое, как мы теперь знаем, дает совершенно произвольную функцию $x,y,z$. Но это и к лучшему: эта произвольная функция теперь появляется как начальное условие, точно так же, как в вашем примере с уравнением теплопроводности.

В этом есть абсолютно физический смысл — сумма дает вам окончательную вероятность того, что частица находится в определенном месте. Но часто знание только одного числа недостаточно иллюстративно, чтобы получить много информации, поэтому мы рассматриваем собственные функции по отдельности.

Квантовая механика не моя область, но я свяжу ее с классической механикой и вибрациями. Перемещение балки при изгибе можно найти как сумму мод. Это здорово, если мы просто хотим знать смещение. Но часто нам нужно знать собственные частоты, модальные вклады (насколько каждая отдельная мода вносит вклад в энергию или смещение) и так далее. Нас также часто интересует только самый низкий режим, поскольку он обычно определяет решение.

Так что, хотя мы могли бы посмотреть на общий ответ, это нам не поможет. Возможно, нам не нужно вычислять все моды, нам может понадобиться только первая. Или мы не сможем вычислить их все из-за затрат, поэтому мы суммируем только те, которые нам нужны. Или мы можем захотеть увидеть, в каких точках есть общие узлы для нескольких мод, или мы можем захотеть увидеть относительное содержание энергии или...

Многое можно узнать из модальной декомпозиции. Сумма режимов представляет собой общий отклик, единую функцию, которая полезна в некоторых случаях, но часто не иллюстрирует большую часть физики того, что происходит в деталях. Просто «резюме». Вроде как знание среднего значения функции — иногда хорошо, но лучше знать больше информации.