Какова мотивация использования многообразий Калаби-Яу в теории струн?

Причина ясно указана в знаменитой статье "Вакуумные конфигурации для суперструн" - http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321385906029 -. Здесь я просто копирую введение этой статьи. Я не могу объяснить причину, почему лучшими словами.

Недавнее открытие [6] сокращения аномалий в модифицированной версии d = 10 супергравитации и теории суперструн с калибровочной группой$O(32)$или$E_8 \times E_8$открыл возможность того, что эти теории могут быть феноменологически реалистичными, а также математически непротиворечивыми. Новая теория струн с$E_8 \times E_8$недавно была построена калибровочная группа [7] вместе со второй$O(32)$теория.

Чтобы эти теории были реалистичными, необходимо, чтобы вакуумное состояние имело вид$M_4 \times K$, где$M_4$— четырехмерное пространство Минковского, а K — некоторое компактное шестимерное многообразие. (Действительно, теория Калуцы-Клейна с ее теперь широко принятой интерпретацией, согласно которой все измерения находятся на одной логической основе, была впервые предложена [8] в попытке придать смысл многомерным теориям струн). Квантовые числа кварков и лептонов затем определяются топологическими инвариантами K и$O(32)$или$E_8 \times E_8$калибровочное поле, определенное на K [9]. Такие соображения, однако, далеко не однозначно определяют К.

В этой статье мы обсудим некоторые соображения, которые, если они справедливы, очень близки к однозначному определению K. Мы требуем

(i) Геометрия должна иметь вид$H_4 \times K$, где$H_4$максимально симметричное пространство-время.

(ii) Должна существовать ненарушенная N = 1 суперсимметрия в четырех измерениях. Общие рассуждения [10] и явные демонстрации [11] показали, что суперсимметрия может играть существенную роль в решении калибровочной иерархии или проблемы больших чисел Дирака. Эти аргументы требуют, чтобы суперсимметрия не нарушалась в масштабе Планка (или компактификации).

(iii) Калибровочная группа и фермионный спектр должны быть реалистичными.

Эти требования оказываются чрезвычайно ограничительными. В предыдущих десятимерных теориях супергравитации суперсимметричные конфигурации никогда не приводили к возникновению киральных фермионов, не говоря уже о реалистичном спектре. Однако модификация, введенная Грином и Шварцем для построения безаномальной теории поля, также позволяет удовлетворить этим требованиям. Мы увидим, что ненарушенная N = 1 суперсимметрия требует, чтобы K для пертурбативно доступных конфигураций имело$SU(3)$голономии* и что четырехмерная космологическая постоянная обращается в нуль. Наличие помещений с$SU(3)$голономия была выдвинута Калаби [12] и доказана Яу [13].

Корень этого — так называемая аномалия, которая делает теории суперструн математически несостоятельными. Единственное измерение, где он может исчезнуть, — это «критическое» (10), но этого самого по себе недостаточно, если глобальная топология нетривиальна. И компактификация дополнительных измерений должна быть нетривиальной. Поскольку физическое пространство-время топологически тривиально, проблема сводится только к компактифицированной части и подразумевает, что его первый класс Черна должен исчезнуть, что делает его Калаби-Яу.