Неоднозначность в асимптотических рядах возмущений и инстантонах

Неоднозначность, на которую обычно ссылаются, связана с отсутствием борелевской суммируемости ряда возмущений.

Рассмотрим серию вида

$$A(g) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n g^n (n!)}$$

Если коэффициенты$b_n$в порядке$1$, этот ряд, очевидно, расходится. Но мы можем вычислить его борелевскую сумму. Сначала вычислите преобразование Бореля:

$$\mathcal{B}A(t) = \sum_{n=1}^{\infty}{ (-1)^n t^n }$$

Затем мы можем вычислить борелевскую сумму:

$$S(g) = \int_0^{\infty}{dt\, e^{-t} \mathcal{B}A(t g) }= \int_0^{\infty}{dt\, e^{-t} \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n (tg)^n }}$$

Теперь мы выводим сумму из интеграла, предполагая, что ряд можно интегрировать почленно. С технической точки зрения это неправильно, так как этот ряд не сходится равномерно — на самом деле, он вообще не сходится, — но мы все равно сделаем это с оговоркой, что мы просто определим ответ как что мы получаем, делая это. Я тот, кто определяет, как подвести итог этой серии, так что я имею право.

$$S(g) = \int_0^{\infty}{dt\, \frac{e^{-t}}{1 + tg} }$$

И пока$g > 0$, это выражение, очевидно, конечно. Процедура сработала, и мы смогли найти хороший четко определенный номер для присвоения этой серии.

Однако вы заметите, что тот факт, что исходный ряд был чередующимся, имел решающее значение для получения этого результата. Давайте повторим это для непеременного ряда, который более репрезентативен для типов рядов, которые вы можете найти при сложении диаграмм Фейнмана в теории поля.

$$S(g) = \int_0^{\infty}{dt\, e^{-t} \sum_{n=1}^{\infty}{ (tg)^n }} = \int_0^{\infty}{dt\, \frac{e^{-t}}{1 - tg} } = \frac{1}{g} \int_0^{\infty}{dt\, \frac{e^{-\frac{t}{g}}}{1 - t} }$$

То есть для$g > 0$интегрант имеет полюс на положительной действительной оси. Вы все еще можете выполнить интеграл, но вы должны выбрать, в каком направлении вы должны совершить экскурсию в комплексную плоскость. Это двусмысленность.

Обратите внимание, что остаток в$t = 1$полюс в приведенном выше

$$Res(S,1) = -\frac{e^{-\frac{t}{g}}}{g}$$

Любопытнее и любопытней! Мнимая часть, которую вы найдете в борелевской сумме, нигде не находится в исходном ряду, поскольку каждый член действителен, и, кроме того, она не является пертурбативной в$g$! Хм... наводит на размышления.

Оказывается, если вы выполняете свои расчеты достаточно тщательно и любые аналитические продолжения выполняются последовательно, то мнимые вклады, связанные с инстантонами, компенсируют мнимые вклады от неспособности ряда возмущений быть суммируемым по Борелю. Таким образом, полное выражение для собственных значений энергии не страдает неоднозначностью. Это явление, когда высокие порядки в теории возмущений (о тривиальном вакууме) каким-то образом кодируют информацию о низших порядках вокруг инстантонных решений, было названо «возрождением». Ключевые слова в литературе также включают «транс-серии», «клинья Стокса» и «наперстки Лефшеца».

Ссылки:

http://arxiv.org/abs/1210.2423

http://arxiv.org/abs/1210.3646

http://arxiv.org/abs/1411.3585

Возможно, это было бы лучше в качестве комментария, поскольку это не полный ответ, но у меня недостаточно репутации для этого. Наиболее важная неоднозначность состоит в том, что существует бесконечное число функций, имеющих одно и то же асимптотическое разложение. Например, если$f(g)$имеет некоторое асимптотическое разложение по$g$как$g \to 0$чем$f(g) + e^{-1/g^2}$имеет точно такое же асимптотическое разложение. Во-первых, обратите внимание, что это выглядит как игрушечная версия инстантонного вклада. Во-вторых, тот факт, что существует более одной функции с одинаковыми асимптотическими разложениями, означает, что для того, чтобы действительно «суммировать» весь асимптотический ряд, нужны дополнительные предположения.

Например, если я знаю, что функция, которую аппроксимирует асимптотический ряд, является функцией Стейльеса, то я знаю, что если я построю аппроксимации Паде из ряда, подобного Тейлору, то я смогу получить (точный) верхний и нижний предел для функция из расходящегося асимптотического ряда. О том, что такое функции Стилеса и аппроксимации Паде, рассказывается в прекрасных лекциях Карла Бендера, что было подсказано в одном из комментариев. Кроме того, если я знаю, что коэффициенты в разложении расходятся достаточно медленно (я думаю,$(2n)!$, но я не уверен, что правильно помню), то я могу не только дать верхний и нижний предел, но и аппроксимации Паде действительно сходятся к рассматриваемой функции.