Как интерпретировать единицы точечного или перекрестного произведения двух векторов?

Как уже отмечал ACuriousMind , вы можете геометрически интерпретировать длину векторного произведения двух векторов как площадь параллелограмма (или как удвоенную площадь треугольника), натянутого на них, и (абсолютные значения) его компонентов как площади проекций этого параллелограмма на координатные плоскости.

Что касается скалярного произведения двух векторов, на основании закона косинусов его можно интерпретировать как половину разницы между суммой их квадратов и квадратом их разности:

Другими словами, принимая векторы за две стороны треугольника, скалярное произведение измеряет (половину) величину, на которую закон Пифагора не выполняется для этого треугольника.

Другой способ геометрической интерпретации (абсолютного значения) скалярного произведения - это половина площади треугольника, образованного поворотом одного из векторов на 90 ° в их общей плоскости, а затем принятием результирующих векторов как две стороны треугольника:

Это следует из известной формулы скалярного произведения $\vec a \cdot \vec b = \|\vec a\| \|\vec b\| \cos \gamma$, куда$\gamma$это угол между$\vec a$а также$\vec b$, по формуле площади треугольника $T = \frac12 \|\vec a'\| \|\vec b\| \sin \gamma'$, куда$T$площадь треугольника, образованного векторами$\vec a'$а также$\vec b$а также$\gamma'$угол между ними, и тот факт, что углы$\gamma$а также$\gamma'$дополняют друг друга, поэтому$|\cos \gamma| = |\sin \gamma'|$.

Обратите внимание на сходство с перекрестным произведением здесь. На самом деле у нас всегда$\|\vec a \times \vec b\| = |\vec a' \cdot \vec b|$, куда$\vec a'$является$\vec a$повернуты на 90° в их общей плоскости (или в любой из плоскостей, если их несколько)!

Пс. Я заметил (после публикации этого ответа), что вы спрашивали конкретно о единицах продукции, а не о геометрических интерпретациях. Тем не менее, эти примеры должны, по крайней мере, показать, что и точка, и векторное произведение двух векторов длины могут быть осмысленно интерпретированы как площади, и поэтому не должно удивлять, что, если исходные векторы имеют единицы, скажем, , метров, то их произведение будет измеряться в квадратных метрах.

Длина векторного произведения двух векторов — это площадь параллелограмма, натянутого на них, поэтому квадратные метры — это правильная единица измерения, а также геометрически значимая — это действительно площадь. $x$-компонента – площадь проекции параллелограмма на$y$-$z$-самолет, т.$y$-составляющая площадь проекции на$z$-$x$-самолет и$z$-компонента – площадь проекции на$x$-$y$-самолет.

Единица скалярного произведения на самом деле не имеет смысла. Это по определению длина проекции первого вектора на второй, умноженная на длину второго (или наоборот), которая прямо не соответствует какой-либо площади. В нем по определению используются квадратные метры, но я не вижу за ним более глубокой интерпретации.

Мне кажется, что вы всегда можете выделить единицы компонентов вектора и переписать его как (физически) безразмерный вектор, умноженный на эти единицы. Затем точечные и перекрестные произведения работают с безразмерными векторами, а присоединенные единицы просто перемножаются вместе, как и в любой не векторной задаче.

Что касается интерпретации полученных единиц, это будет зависеть от того, построили ли вы что-то, имеющее физический смысл, или нет. Я полагаю, вы могли бы взять векторное произведение двух векторов силы, но я не думаю, что это будет что-то значить (но мне было бы интересно увидеть интерпретацию, если кто-то может ее придумать). Конечно, вы можете взять векторное произведение вектора положения и вектора силы и интерпретировать результат как крутящий момент.

Ваш скалярный продукт двух векторов положения имеет квадратные метры в качестве единиц измерения, потому что он соответствует спроецированной длине, умноженной на другую длину. И перекрестный продукт действительно соответствует площади, как уже указывали другие.

Скалярное произведение двух длин нигде в физике не встречается, поэтому единица не имеет смысла.

Обычно у вас есть точечный продукт либо в такой ситуации, как$\cos(k\cdot r)$, где$\vec k$выбирается, чтобы дать значимое число (фазу) в скалярном произведении, имеет единицу 1/m. Он живет совсем в другом пространстве, чем радиус-векторы, но они как-то связаны в том смысле, что можно сравнивать направления$\vec r$а также$\vec k$, они могут быть параллельными и т. д. Это «каким-то образом» нуждается в некоторой математике, чтобы записать его более просто: короче говоря, ks представляют линейные функционалы в реальном пространстве...

Или у вас есть точечный продукт в чем-то вроде расчета работы, где единица измерения тоже, очевидно, имеет смысл. Здесь должна быть аналогичная математика.

Перекрестное произведение объясняется в другом ответе.

Точечный продукт, как и обычный продукт, будет производить другое количество, обычно с другой единицей измерения. Это неудивительно, умножение всегда так делает (в этом суть единиц — они образуют мультипликативную группу).

Рассмотрим версию work=force*displacement в начальной школе. Ты пишешь как$W=Fx$(как "скаляры"), вы, вероятно, не возражаете против этого. Получается, что за работу считается только сила по перемещению, а вообще надо писать$W={\bf F\cdot x}$. Так что на самом деле ничего не изменилось, за исключением того, что теперь учитываются направления (скалярное произведение умножает только те части векторов, которые параллельны друг другу). Полученной единицей, конечно же, является джоуль (или какая-либо другая единица энергии), как и в скалярном случае.

Для перекрестного произведения это практически то же самое. Учитывайте крутящий момент. У вас есть$\bf M= r\times F$. Крутящий момент — это величина, отличная от расстояния или силы. Так было бы и без векторного характера величин.

Однако есть нечто более тонкое, чем это. Перекрестное произведение не дает истинного вектора, если вы внимательно посмотрите на него. «Смысл» компонентов векторного произведения имеет область, ориентированную на смысл… так что вопрос не в том, «сколько того-то и того-то мы имеем в каком-то направлении», а в том, «сколько это-и-это проходит через область, указывающая в каком-либо направлении». Мы называем эти псевдовекторы (аксиальные векторы). Помимо этого «ощущения» круглости в каком-то направлении (посмотрите на крутящий момент — он закручивается вокруг оси), он также обладает другими свойствами симметрии. Если вы перевернете все векторы в уравнении (перевернете стрелку), перекрестное произведение не перевернет стрелку (потому что на самом деле это не стрелка, а ось).

Этот «тонкий» момент не нужен, чтобы понять часть о единицах (это просто потому, что продукт всегда создает разное количество), но я включаю его для полноты картины. Физические величины — это больше, чем просто числа с единицами измерения. За этим стоит смысл и поведение. Просто вспомните, что работа и крутящий момент имеют одни и те же единицы измерения, но один из них — скаляр, а другой — псевдовектор.

Скалярный продукт можно представить как взвешенное произведение двух величин. Поскольку он определяется как$\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v| \cos{ \theta }$,$\cos{ \theta }$можно рассматривать как меру одинаковости двух векторов (что приводит к отрицательному ответу для углов, больших, чем прямой угол, в то время как$|u|$а также$|v|$можно рассматривать как корректировку соответствующих размеров двух векторов.

Что касается единиц, берите$W=\vec{F} \cdot \vec{d}$, больше похожи на реликвии двух величин, входящих в продукт, в этом примере остаются единицы$\text{N} \cdot \text{m} = \text{J}$.

А единицы перекрестного произведения можно рассматривать как единицы площади параллелограмма в своего рода фазовом пространстве (которое было бы трудно визуализировать, поскольку пространство для двух векторов разных единиц в 3 измерениях было бы 6-мерным).

Хотя эта диаграмма, по общему признанию, является геометрической (гм... это триггерные функции), эта диаграмма кратко показывает взаимосвязь между единицами измерения. Об этом говорилось по-разному в комментариях и других ответах:

Тот же принцип применим к перекрестному произведению. Диаграмма была бы похожей, но выглядела бы еще более «геометрической».

Скалярный продукт двух единичных векторов можно смело считать безразмерной величиной с точки зрения размерного анализа — единичный вектор — это то, что вы получаете, когда делите вектор на его величину, а скалярный продукт является линейным с точки зрения величин обоих векторов, поэтому все единицы сокращаются — и по той причине, что вы можете взять его арккосинус, чтобы получить угол между двумя векторами, а косинус угла безразмерен.

В скалярном произведении вы получаете величину в единицах произведения операндов.

При перекрестном произведении вы получаете векторы с направлением в единицах произведения операндов.