Физическое представление объема к площади поверхности

Для случая сферы соотношение, которое вы нашли, равно:

$$\frac{V}{S} = \frac{ \frac{4}{3} \pi R^3}{4 \pi R^2} = \frac{R}{3}$$

Фактически мы можем выдать объем за интеграл площади поверхности. Это сносно, когда вы проверяете исчисление.

Один из подходов состоит в том, чтобы спросить, «что такое функция, деленная на ее производную». Это действительно похоже на отношение площади к периметру круга.

$$\frac{A}{P} = \frac{ \pi R^2}{ 2 \pi R} = \frac{R}{2}$$

Конечно, вы видите «2» из-за значения показателя степени, которое происходит от двух измерений, как у сферы. Итак, теперь мы объяснили часть ответа, а именно то, что линейное измерение делится на количество измерений. Это все еще неудовлетворительно, потому что у нас нет четкого представления о том, как мы должны определить эту конкретную «характеристическую длину».

Одной из попыток решения этой проблемы была бы проверка идеи системы квадрат-куб.

$$\frac{V}{S} = \frac{ R^3}{ 6 R^2} = \frac{R}{6}$$

$$\frac{A}{P} = \frac{ R^2}{4 R} = \frac{R}{4}$$

Вы можете видеть, что это по-прежнему соответствует нашему требуемому правилу, но «характеристическая длина» теперь составляет половину длины стороны. Конечно, мы хотим сделать утверждение общим для всех форм. Это все еще запутано определением «характеристической длины». Поэтому давайте избежим этого, сделав утверждение об отношении «внутреннего» к «внешнему» для любого класса форм, переходя от одного измерения к другому.

$$\left( \frac{I}{O} \right)_{n+1} = \frac{n}{n+1} \left( \frac{I}{O} \right)_{n}$$

Это требует определения «характеристической длины», которую я назову$l$.

$$l \equiv n \left( \frac{I}{O} \right)_{n}$$

К сожалению, я не могу утверждать, что изобрел что-то новое. Это идея гидравлического диаметра . Единственная разница — коэффициент 2. Четырехмерное существо с трубой постоянного трехмерного поперечного сечения будет использовать вашу формулу для расчета гидравлического радиуса. В Википедии также есть то же самое наблюдение, которое я только что сделал:

Для полностью заполненного воздуховода или трубы, поперечное сечение которой представляет собой правильный многоугольник, гидравлический диаметр эквивалентен диаметру окружности, вписанной в смачиваемый периметр.

Я показал, что это также правильное представление о кубе и сфере. Итак, при условии, что мы исправим ваш$3.3 cm$умножая на количество измерений, вы получили своего рода обобщенный радиус. Другие, более экзотические формы объяснить будет не так просто. Если бы у вас была сфера с неровной поверхностью, и вы бы подсчитали площадь, которую нужно было закрасить, это бы уменьшило гидравлический радиус формы.

Одним из способов, которым мы могли бы обосновать эту концепцию, является обращение к гидродинамике. Гидравлический диаметр используется потому, что проталкивание жидкости через «ухабистую» трубу похоже на прокачку ее через гладкую трубу меньшего размера. Таким образом, это число является своего рода косвенным показателем вязкостного сопротивления. Ну, это может быть одно использование.

рассмотрим несколько простых примеров: сфера, куб и прямоугольный параллелепипед. Обозначим радиоотношение объема к площади поверхности данного объекта через$\ell$, то имеем

$$\begin{align} \ell(\mathrm{sphere}) &= \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2} = \frac{1}{3} R = \frac{1}{6}D \\ \ell(\mathrm{cube}) &= \frac{L^3}{6L^2} = \frac{1}{6}L \\ \ell(\mathrm{parallelepiped}) &= \frac{LWH}{2(LW + LH + WH)} \end{align}$$ где $R$радиус сферы, $D$диаметр шара, $L$- длина стороны куба, а $L,W,H$длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда. Заметьте, что в случае куба и сферы мы получаем длину, которая примерно говорит нам о поперечных размерах объекта в любом заданном направлении, которую можно было бы назвать «характеристической длиной». С другой стороны, рассмотрим параллелепипед с $W=H=\epsilon$где $\epsilon$маленький. В этом случае мы можем игнорировать условия заказа $\epsilon^2$относительно порядка $\epsilon$условия, и мы получаем $$\ell = \frac{L\epsilon^2}{2(L\epsilon + L\epsilon + \epsilon^2)}\sim \frac{1}{4}\epsilon$$ и мы видим, что $\ell$становится очень маленьким. Таким образом, в этом случае для очень длинного узкого параллелепипеда соотношение дает хорошее представление о боковых измерениях в двух измерениях, но не в третьем. В общем, если у вас есть объект, приблизительно сферически симметричный (и не патологический в других отношениях), то отношение дает хорошее представление о том, насколько велики все размеры объекта, но если эта симметрия отсутствует, то понятие характерной длины, определяемой этим соотношением, несколько нарушается.

Физическое представление зависит от геометрии системы. В случае сферы мы имеем простой результат

$$\frac{V}{A} = \frac{(4\pi/3)R^3}{4\pi R^2} = \frac{R}{3}.$$ То есть отношение составляет одну треть радиуса.

Теперь сферы особенны тем, что максимизируют это соотношение. Например, предположим, что у вас есть куб со стороной$s$. Затем

$$\frac{V}{A} = \frac{s^3}{6s^2} = \frac{s}{6}.$$ Конечно, чтобы убедиться, что мы сравниваем яблоки с яблоками, мы должны соотнести $s$к $R$некоторым осмысленным образом, скажем, приравнивая объемы. Если $(4\pi/3)R^3 = s^3$, затем $s = (4\pi/3)^{1/3} R$, поэтому отношение объема к площади поверхности куба равно $$\frac{V}{A} = \frac{1}{6} \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{1/3} R \approx 0.27 R.$$

Многие вещи в природе принимают сферическую форму, потому что это минимизирует потенциальную энергию, связанную с поверхностным натяжением, при условии, что все ваши «вещи» имеют фиксированный объем.

Кстати, отношение площади поверхности к длине становится особенно важным при изучении емкости в единицах СГС. Емкость сферы радиусом$R$является$A/(4\pi R) = R$(да, сантиметры - это единица измерения емкости в СГС), а емкость плоскопараллельного проводника площадью$A$и разделение$d$есть (без учета краевых эффектов)$A/(4\pi d)$.

Если вы разделите объем на площадь, вы получите длину (как вы обнаружили), эта длина физически равна длине цилиндра, используя пример XKCD (вы можете использовать любую n-стороннюю призму), где круглая грань имеет площадь равна площади поверхности (вашей исходной формы).

вы можете увидеть это изображение, которое демонстрирует это:

ПРИМЕЧАНИЕ. Масштаб между сферой и цилиндром неверен, длина будет намного меньше, чем показано здесь.