Каков физический смысл точечного и векторного произведения векторов? Почему деление не определено для векторов?

Я понимаю физическое значение сложения и вычитания векторов. Но я не понимаю, что означают точечные и перекрестные произведения?

Возможно, вам покажется более интуитивной геометрическая интерпретация точечного и перекрестного произведений:

Скалярное произведение A и B — это длина проекции A на B, умноженная на длину B (или наоборот — оно коммутативно).

Величина векторного произведения — это площадь параллелограмма с двумя сторонами А и В. Ориентация векторного произведения ортогональна плоскости, содержащей этот параллелограмм.

Почему векторы нельзя разделить?

Как бы вы определили вектор, обратный такому, что$\mathbf{v} \times \mathbf{v}^{-1} = \mathbf{1}$? Каким будет «вектор идентичности»$\mathbf{1}$?

На самом деле, иногда можно . В частности, в двух измерениях можно установить соответствие между векторами и комплексными числами, где действительная и мнимая части комплексного числа дают координаты (x,y) вектора. Деление четко определено для комплексных чисел.

Кросс-произведение существует только в 3D.

Деление определено и в некоторых многомерных пространствах (таких как кватернионы ), но только если вы отказываетесь от коммутативности и/или ассоциативности.

---

Вот иллюстрация геометрических значений точечного и перекрестного произведения из статьи в Википедии для точечного произведения и статьи в Википедии для перекрестного произведения :

Лучший способ - игнорировать мусор, который авторы помещают в учебники по элементарной физике, и определять его с помощью тензоров. Тензор — это объект, который преобразуется как произведение векторов при вращении. Эквивалентно его можно определить линейными функциями от (наборов векторов) и (линейных функций от наборов векторов), все это описано в Википедии.

Существует ровно два тензора, инвариантных относительно поворотов:

$\delta_{ij}$а также$\epsilon_{ijk}$

Все остальные тензоры, инвариантные относительно вращений, являются их произведениями и тензорными следами. Эти тензоры определяют «точечный продукт» и «перекрестный продукт», ни один из которых не является хорошим понятием продукта:

$V \cdot U = V^i U^j \delta_{ij}$

и перекрестное произведение

$(V \times U)_k = V^i U^j \epsilon_{ijk}$

Бессмысленно думать о векторном произведении как о «произведении», потому что оно не ассоциативно, т.$(A\times B)\times C$не равно$A\times(B\times C)$. Также бесполезно думать о скалярном произведении как о произведении в обычном смысле, потому что оно переводит пары векторов в числа и$(A\cdot B)C$не равно$A(B\cdot C)$, потому что первый указывает в направлении C, а второй указывает в направлении A.

Лучший способ — привыкнуть к инвариантным тензорам. Они обобщаются на произвольные измерения, они намного яснее и не требуют правила правой руки (об этом заботится соглашение о порядке индекса). Вы не найдете ни одной статьи по физике, в которой используется векторное произведение, за единственным исключением статьи Фейнмана 1981 года «Качественное поведение теории Янга-Миллса в 2+1 измерениях», и даже если вы это сделаете, ее будет тривиально перевести.

Вы можете разделить векторы с помощью алгебры Клиффорда («геометрической»).

Геометрическое произведение векторов ассоциативно:

$$abc = (ab)c = a(bc)$$

А геометрическое произведение вектора на себя есть скаляр.

$$aa = |a|^2$$

Это все свойства, необходимые для определения уникального произведения векторов. Все остальные свойства могут быть получены. Однако я суммирую их: для двух векторов геометрическое произведение сочетается с точечным и перекрестным произведениями.

$$ab = a \cdot b + a \wedge b$$

Мы используем клинья вместо крестов, потому что этот второй член не является вектором. Мы называем это бивектором , и он представляет собой ориентированную плоскость. Может быть поучительно ввести основу, чтобы увидеть это.$e_1 e_1 = e_2 e_2 = 1$а также$e_1 e_2 = -e_2 e_1$зафиксировать свойства геометрического произведения для этих ортонормированных векторов базиса. Тогда геометрическое произведение равно

$$ab = (a^1 e_1 + a^2 e_2) (b^1 e_1 + b^2 e_2) = (a^1 b^1 + a^2 b^2) + (a^1 b^2 - a^2 b^1) e_1 e_2$$

Как я уже сказал, геометрическое произведение двух векторов обратимо в евклидовом пространстве. Это следует из свойства ассоциативности:$a b b^{-1} = a(b b^{-1}) = a$. Что$b b^{-1} = 1$подразумевает, что

$$b^{-1} = b/|b|^2$$

Познавательно посмотреть на количество$a = (a b) b^{-1}$, используя группировку, чтобы разложить ее по-другому.

$$a = (ab)b^{-1} = (a \cdot b) b^{-1} + (a \wedge b) \cdot b^{-1}$$

Первый член направлен в сторону$b$, вторая ортогональна$b$. Это разлагает$a$в$a_\parallel$а также$a_\perp$.

То, что другие сказали, верно, вы не можете определить, что только векторное перекрестное произведение является обратимым. Это разложение должно убедить вас в том, что вы не можете полностью реконструировать вектор без информации как из точечного, так и из векторного произведения. И, как было сказано, это произведение некоммутативно .

Если вы собираетесь определить деление векторов, вам придется определить, в каком поле умножения вы собираетесь определять деление: для обычных чисел я думаю о$\frac{x}{y}$как число, которое при умножении на$y$, дает$x$. Так,$\frac{\vec x}{\vec y}$должен быть вектором, который при «умножении» на$\vec y$, дает$\vec x$. Если наше поле умножения является скалярным произведением, у нас уже проблемы, потому что скалярное произведение двух векторов является скаляром, и поэтому приведенное выше определение потребует$\frac{\vec x}{\vec y}$быть одновременно вектором и скаляром.

Точно так же, если нашей операцией является перекрестное произведение, то мы знаем, что для любых векторов$\vec x$а также$\vec y$и любой скаляр$c$, у нас есть${\vec x} \times {\vec y} = {\vec x}\times \left({\vec y} + c{\vec x}\right)$, так что это означает, что существует бесконечное число векторов, которые удовлетворяют свойству «при перекрестном произведении на$\vec y$, дает$\vec x$". Следовательно, деление по перекрестному произведению не является уникальным.

В дополнение к ответу нибота: разделить что-то - это найти часть чего-то. В случае вектора его часть имеет то же направление, но меньшую длину. Поэтому естественно делить векторы на числа, а не на векторы.

Эти точечные и перекрестные произведения не являются простыми произведениями, потому что они зависят не только от длины, но и от ориентации. Их называют соответствиями между парой векторов и числами или векторами.

Другой, более интуитивный подход к вашему вопросу (математики: пожалуйста, отведите взгляд) состоит в том, чтобы думать о точечных (AB = ABcosθ) и перекрестных (AxB = ABsinθ) произведениях как о простых способах измерения степени параллелизма векторов по сравнению с перпендикулярностью (ортогональностью) векторов в том смысле, что:

• Скалярное произведение параллельных единичных векторов UU дает число UU, потому что 0 = 1 (или число со значением A * B для векторов произвольной длины), в то время как для ортогональных (перпендикулярных) векторов оно всегда равно нулю, поскольку cos 90 ° = 0

• И наоборот, перекрестное произведение параллельных единичных векторов имеет величину 0 (поскольку sin 0 ° = 0), а ортогональных единичных векторов - 1 (или величину AxB для произвольных длин); но в этом случае результат отображается в вектор , который должен быть перпендикулярен плоскости, определяемой входными векторами A и B (нет очевидного способа присвоить ему направление внутри плоскости, определяемой A и B). И признайте также, что векторное произведение таким образом приобретает ощущение хиральности, поскольку AxB = -BxA, что оказывается полезным (пример ниже).

Конечно, именно использование sin и cos определяет, как эти меры меняются от 0 до 1 для единичных векторов; просто представьте, что значения продуктов меняются, когда вы думаете о векторах A и B, вращающихся по направлению друг к другу или от них для каждого типа продукта.

Что касается физического значения (и игнорируя более глубокие знания, доступные с помощью алгебры Клиффорда и т. д.), эти «продукты» оказываются полезными во многих ситуациях, что их физическое значение часто принимается как должное, а не подчеркивается (и возможно, это лежит в основе вашего вопроса).

Для скалярного произведения : например, в механике скалярное значение мощности представляет собой скалярное произведение векторов силы и скорости (как указано выше, если векторы параллельны, сила полностью влияет на мощность; если перпендикулярно направлению движения , сила не влияет на мощность, и это функция cos, которая изменяется по мере изменения длины проекции вектора силы на вектор скорости; так что она вовсе не определена произвольно ).

Для перекрестного произведения : например, угловой момент, L = rxp (все векторы), поэтому кажется совершенно интуитивно понятным, что вектор, полученный в результате перекрестного произведения, выравнивается с вовлеченной осью вращения, перпендикулярной плоскости, определяемой векторами радиуса и импульса. (которые в этом примере сами обычно будут перпендикулярны друг другу, поэтому величина rp*sin90°= rp). И если направление вращения меняется, знак вектора импульса меняется на противоположный, и поэтому вектор векторного произведения L также меняет знак (отсюда полезность преобразования векторного произведения в вектор).

Однако обратите внимание, что вы также можете вычислить число , полученное из AB * sinθ (вместо того, чтобы отображать его в перпендикулярный вектор). Это просто площадь параллелограмма, которая определяется векторами A и B в векторном произведении.

Между прочим, ничто не мешает вам преобразовать скалярное произведение в перпендикулярный вектор, если это необходимо, но, вероятно, это не часто бывает полезно в физике.

Что касается разделения, это немного более технический вопрос, и в более ранних ответах он хорошо освещен. Также есть доступное обсуждение на https://www.quora.com/Can-we-divide-a-vector-by-a-vector-and-why .

Я надеюсь, что это чем-то поможет менее опытным участникам.

Для продуктов у вас есть ответы. Для деления я рекомендую вам прочитать больше о кватернионах . Интерпретация векторов с точки зрения кватернионов позволяет использовать более обширную алгебру, чем само векторное пространство.

Немного математики прямо здесь. Для естественного определения деления вам нужно как минимум кольцо с делением (можно прокомментировать, что достаточно алгебры с делением, а затем добавить к моему ответу октонионы). Существует теорема о том, что единственными конечномерными телами являются вещественные, комплексные и кватернионы. Векторы — это векторное пространство в трех измерениях. Итак, любое деление для трехмерных векторов будет «неестественным».

Вопрос «что делает$\vec{a}/\vec{b}$равно?" эквивалентно вопросу "На что вы умножаете$\vec b$получить$\vec a$?" - ответ представляет собой матрицу, предполагая, что умножение включает в себя некоторое сжатие впоследствии. Эквивалентно, вы умножаете и сжимаете тензор (1, 0)$b^\mu$тензором (1,1)$A_\mu^\nu$чтобы получить (0,1) тензор$b^\nu$.

Но есть несколько матриц, которые вы можете умножить$\vec b$чтобы получить$\vec a$. В двух измерениях вам нужны два набора «это отображается в это» (и знание того, что отображение является линейным), чтобы точно определить, что такое линейное отображение. В целом в$n$размеры, вам нужно$n$такие векторы — поэтому вместо деления векторов вы делите наборы векторов — они называются матрицами.

Деление скаляра или вектора на вектор — полезная операция. Это внешний продукт (AKA, тензорный продукт). Например, рассмотрим дифференциал Лейбница, выраженный с помощью базисных векторов$\hat{\mathfrak{e}}^i$:

$$d\mathit{f}=\nabla [\mathit{f}]\cdot d\mathfrak{x}=\frac{\partial \mathit{f}}{\partial x^i}dx^i$$

$$\approx\frac{\Delta \mathit{f}}{\Delta x^i}\hat{\mathfrak{e}}^i\cdot \Delta \mathfrak{x}$$

$$=\Delta \mathit{f}\left(\frac{1}{\Delta x^i}\hat{\mathfrak{e}}^i\cdot \Delta \mathfrak{x}\right)$$

$$=\frac{\Delta \mathit{f}}{\Delta \mathfrak{x}}\cdot \Delta \mathfrak{x}.$$

Так$\frac{1}{\Delta x^i}\hat{\mathfrak{e}}^i=\frac{1}{\Delta \mathfrak{x}}$является вектором. Конечно, нам нужно определить наш выход из$\frac{1}{\Delta x^i=0}.$

Теперь, если у нас есть вектор-функция$\vec{\mathit{f}}\left[\mathfrak{x}\right]$мы можем написать$\frac{d\vec{\mathit{f}}}{d\mathfrak{x}},$которая называется производной матрицей. Если она квадратная, ее часто называют матрицей Якоба.