Почему радианы более естественны, чем любые другие угловые единицы?

Question

Почему радианы более естественны, чем любые другие угловые единицы?

единицы
Физика
Математика
размерный анализ

Зендмейлер

Я убежден, что радианы — это, по крайней мере, самая удобная единица измерения углов в математике и физике. Вдобавок к этому я подозреваю , что они представляют собой наиболее естественную единицу измерения углов. Я хочу знать, почему это так (или почему нет).

Я понимаю, что использование радианов полезно в исчислении, включающем тригонометрические функции, потому что нет таких запутанных множителей, как $\pi/180$ . Я также понимаю, что это потому, что $\sin(x) / x \rightarrow 1$ в качестве $x \rightarrow 0$ когда $x$ находится в радианах. Но почему это означает, что радианы принципиально более естественны? Что математически неверно в этих беспорядочных факторах?

Так что, может быть, это хорошо и правильно выбрать устройство, которое делает $\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$ . Но почему бы не поменять местами, поместив «красивый и чистый» бит в саму единицу измерения угла? Почему бы не определить 1 угол как полный оборот, а затем измерить углы как часть этого полного оборота (аналогично измерению скорости как доли скорости света? $c = 1$ ). Конечно, у вас были бы беспорядочные факторы $2 \pi$ в исчислении, но что не так с этим математически?

Я думаю, что часть того, что я ищу, - это объяснение, почему радиус является самой важной частью круга. Не могли бы вы определить другую единицу измерения угла аналогично радиану, но с использованием диаметра вместо радиуса?

Кроме того, если радианы являются естественной единицей измерения, значит ли это, что не только $\pi \,\textrm{rad} = 180 ^\circ$ , но и $\pi = 180 ^\circ$ , то есть $1\,\textrm{rad}=1$ ?

dmckee --- котенок экс-модератор

Некоторое обсуждение в комментариях на physics.stackexchange.com/q/11500

Филип Окли

и Радиан, и Цикл являются естественными единицами для таких циклических аспектов. Трудность заключается в том, чтобы выбрать базовую единицу и показать ее (а не скрыть) всем. На фундаментальном уровне математики, физики и обычный человек имеют разные взгляды на мир, которые не совпадают [например , xkcd.com/435 ] .

Qмеханик

Связанный пост Math.SE: math.stackexchange.com/q/1797756/11127 , math.stackexchange.com/q/720924/11127 и ссылки в нем.

Эмилио Писанти

Относительно вашего последнего вопроса: да. Вы можете сделать большую часть путаницы в преобразовании между градусами и радианами, определив символ

°

$°$ с настоящим номером

π / 180

$\pi/180$ . Такой подход используется, например, в Mathematica (поэтому, например, попробуйте N[°]).

Сьорд Смит

Обратите внимание, что некоторые люди из NIST утверждали, что радианы должны быть настоящей единицей СИ: arxiv.org/abs/1604.06774 .

Ответы (7)

Почему радианы более естественны, чем любые другие угловые единицы?

Некоторое обсуждение в комментариях на physics.stackexchange.com/q/11500
и Радиан, и Цикл являются естественными единицами для таких циклических аспектов. Трудность заключается в том, чтобы выбрать базовую единицу и показать ее (а не скрыть) всем. На фундаментальном уровне математики, физики и обычный человек имеют разные взгляды на мир, которые не совпадают [например , xkcd.com/435 ] .
Связанный пост Math.SE: math.stackexchange.com/q/1797756/11127 , math.stackexchange.com/q/720924/11127 и ссылки в нем.
Относительно вашего последнего вопроса: да. Вы можете сделать большую часть путаницы в преобразовании между градусами и радианами, определив символ $°$ с настоящим номером $\pi/180$ . Такой подход используется, например, в Mathematica (поэтому, например, попробуйте N[°]).
Обратите внимание, что некоторые люди из NIST утверждали, что радианы должны быть настоящей единицей СИ: arxiv.org/abs/1604.06774 .

Фабиан · Answer 1

Самое главное

е^{я Икс} знак равно потому что Икс + я грех Икс

$e^{i x} = \cos x + i \sin x$ выполняется (в этой форме) только в радианах.

Итак, теперь вы можете спросить, почему $e$ более естественно, чем любое другое число ;-)

Я думаю, это самый аккуратный ответ из всех.

dmckee --- котенок экс-модератор · Answer 2

Рассмотрим ряд Тейлора для тригонометрической функции. Например, синус

грех α знак равно α - \frac{α^{3}}{3!} + \dots знак равно \sum_{н знак равно 0}^{\infty} (- 1)^{н} \frac{α^{2 н + 1}}{(2 н + 1)!},

$\sin \alpha = \alpha - \frac{\alpha^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!},$ или косинус

потому что α знак равно 1 - \frac{α^{2}}{2!} + \dots знак равно \sum_{н знак равно 0}^{\infty} (- 1)^{н} \frac{α^{2 н}}{(2 н)!} .

$\cos \alpha = 1 - \frac{\alpha^2}{2!} + \dots =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}.$

Если бы вы выбрали какую-то другую единицу измерения угла, эти очень аккуратные ряды получили бы дополнительные множители в каждом члене.

Такие вещи «неестественны» для математиков.

Или, если ряды Тейлора кажутся вам слишком эзотерическими, просто рассмотрите приближение $\sin\alpha\approx\alpha$ для малых углов $\alpha$ , что выполняется только в том случае, если $\alpha$ измеряется в радианах. (Формально, конечно, это приближение просто возникает из-за усечения ряда Тейлора после члена первого порядка, так что в некотором смысле это одно и то же.)
Формула «неверна» в том смысле, что она уже предполагает, что альфа выражена в радианах, в то время как все мы знаем, что sin 90 равен 1,0 ;-) Тригонометрические соотношения (например, sin(A+B)=s(A).c(B)+ s(B).c(A) ) не зависят от используемой единицы измерения. Выбор радианов — это [в]удобство. Основная проблема заключается в том, что длина SI является нормой в трехмерном пространстве (без названия). На этом заканчивается доказательство того, что 1=3.

любитель физики · Answer 3

Углы определяются как отношение длины дуги к радиусу, умноженное на некоторую константу $k$ что равно единице в случае радианов, $360/2\pi$ для степеней. На самом деле вы спрашиваете, что естественно в настройке $k$ = 1? Опять же, это аккуратность, как указано в альтернативном ответе dmckee.

Майк Данлави · Answer 4

Люди называют вещи «естественными», когда упрощают формулы.

Например, если есть прялка, скорость $v$ точки на периферии интуитивно пропорциональна скорости вращения $\omega$ и радиус $r$ . Если скорость вращения измеряется в радианах в секунду, то точная формула и интуитивная идентичны:

в знак равно р ю

$v = r \omega$

а не что-то уродливое, как $r\omega(\pi/180)$ .

Я думаю, что приведенное выше - лучший ответ с точки зрения физики, хотя радианы используются во многих местах, где я считаю их глупыми. Например, команда «rotate» графического контекста JavaScript использует углы, указанные в радианах, а это означает, что выполнение четырех поворотов на 90 градусов оставит ее состояние, несколько отличающееся от исходного.
@supercat: Я помню дебаты некоторое время назад, которые изменили условное обозначение с 360 градусов на 400. Это облегчило бы жизнь авиаторам, которым приходится вычислять в уме такие вещи, как: «Учитывая, что ваш текущий курс $\alpha$ , какой курс вы бы выбрали, чтобы развернуться на 180 градусов?» Это не тот случай, когда вы хотите сделать ошибку. К счастью, если у них есть присутствие духа, они могут просто прочитать это со своей карты гирокомпаса. .

Альфред Центавр · Answer 5

Я думаю, что часть того, что я ищу, - это объяснение, почему радиус является самой важной частью круга.

Наиболее важной частью окружности является геометрическое место составляющих ее точек. Без этого у вас нет круга.

Радиус важен в определении «окружности», но определение «окружности» не идентично ни одному кругу.

Радиан определяется как « отношение длины дуги к ее радиусу ».

$\theta = s/r$

По этой причине он более «естественен», чем другие угловые меры: угол в радианах представляет собой нормализованную длину дуги, т. е. радианная мера угла представляет собой длину дуги на единицу радиуса.

РЕДАКТИРОВАТЬ: чтобы ответить на многочисленные комментарии Zendmailer к другим ответам.

Зендмейлер спрашивает

Теперь я спрашиваю, если они действительно естественны, как вписывается утверждение, что 1 радиан = 1?

Для любой угловой меры $\alpha$ , имеем почти тривиальный результат:

1 $\alpha = 1$

Итак, тот факт, что 1 радиан = 1 , не имеет никакого отношения к вопросу о натуральности .

Как я объяснил в комментарии к другому ответу, обоснование естественности радиана как угловой меры геометрическое .

Можно построить круг из нити, закрепленной на одном конце, центра круга и карандаша. Удерживая нить натянутой, карандаш обводит геометрическое место точек, составляющих круг. Радиус окружности равен длине струны.

Сделав это, какой самый естественный способ измерить длину окружности? Уложите нить по окружности. Длина дуги точно равна 1 радиусу. Угол, образуемый этой длиной дуги, является естественной мерой угла, радианом.

Угол - это длина дуги, деленная на радиус, поэтому мера угла в радианах напрямую дает длину дуги, кратную радиусу.

Бы $1\,\textrm{rad}=1$ быть ложным внутри системы градусов? Поэтому правда о $1\,\textrm{rad}=1$ является социальным, а заявление Давида Заславского о том, что «степень» — это причудливое название для $\frac{\pi}{180}$ верно только внутри системы радианов? (извините, что продолжаю задавать все эти вопросы. Я действительно просто пытаюсь понять)
@Zendmailer, 1 радиан = 1 всегда верно по той же причине, что и $\frac{1km}{1km} = 1$ верно всегда , независимо от социальных условностей, независимо от того, в какой системе человек находится. Это верно при проверке.
Хорошо. Если я не ошибаюсь, не означает ли это, что Physikslover неправ, говоря , что это зависит от системы, поскольку 1 радиан не равен 1 градусу?
@Zendmailer, если мы решим разделить окружность круга на $n$ единиц , длина дуги каждой единицы, нормированная на радиус , равна $\frac{2 \pi}{n}$ . Обратите внимание, что это безразмерное число. Угол, связанный с этой длиной дуги, составляет 1 угловую единицу, а в окружности n угловых единиц. Обратите внимание, что это верно независимо от нашего выбора для $n$ . Наш выбор для $n$ влияет на нормализованную длину дуги, связанную с нашей угловой единицей, но 1 угловая единица всегда = 1.
Когда вы говорите, что 1 угловая единица = 1 всегда, это означает, что 1 градус = 1 всегда ( $n=360$ ), Правильно? И когда $n=2\pi$ у нас всегда 1 радиан = 1. Почему нельзя сравнивать их и говорить, что 1 радиан = 1 = 1 градус, если мы использовали слово «всегда»?
@Zendmailer, потому что нормализации разные. Мы, кажется, без каламбура, ходим по кругу.

Рево · Answer 6

Позвольте мне изложить некоторые исходные факты, которые могут быть связаны с вашими вопросами, и я надеюсь, что они помогут вам понять ответы, опубликованные другими.

Есть разница между единицами измерения и размерами. Каждое количество, имеющее размеры, должно иметь единицы измерения.
Противоположное предыдущему утверждению не всегда верно, например, углы вообще не имеют размеров, потому что по определению они являются длиной/длиной, но у них есть единицы измерения. Единица в данном случае используется для идентификации величины как угла.
Углы можно измерять в градусах и радианах точно так же, как расстояния можно измерять в сантиметрах или дюймах. Следовательно, между двумя единицами должен быть коэффициент преобразования.
С использованием $\pi$ радианы = 180 градусов, вы можете видеть, что $1 ~rad= 180^\circ/\pi=180^\circ/3.14\simeq 57.3^\circ$ . То есть 1 рад = 57,3 градуса (если представить его в форме, похожей на что-то вроде 1 дюйма = 2,54 см).
По определению $\displaystyle \theta=\frac{s}{r}$ рад, где $s$ длина дуги, опирающейся на угол и $r$ это радиус окружности. Обратите внимание, что предыдущее выражение для угла дает вам угол в радианах. Если вы хотите это в градусах, это будет выглядеть так, $\displaystyle \theta = \frac{s}{r}\frac{180^\circ}{\pi}$ . Как вы видите, выражение в радианах намного проще и, следовательно, естественно, как указал Майк Данлави.
Если у вас есть частица, которая вращается вокруг окружности постоянного радиуса $r$ , то из уравнения $\displaystyle \theta=\frac{s}{r}$ Рад вы можете видеть, что мы можем получить $\displaystyle \omega=\frac{v}{r}$ рад в единицу времени (где по определению $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ а также $v=\frac{ds}{dt}$ ). Опять же, как указал Майк, уравнение для угловой скорости будет иметь дополнительный коэффициент $180^\circ/\pi$ если бы мы хотели, чтобы угловая скорость выражалась в градусах в единицу времени, а не в радах в единицу времени.
Когда угол, выраженный в радианах или градусах, умножает единицу расстояния, скажем, выживающей единицей является единица расстояния. Например: дано $\omega = 2 rad/s$ а также $r=1 cm$ , следовательно $r\omega = 2 cm/s$ . Вот почему в этом случае можно сказать, что 1 рад = 1.

Трудность в пункте 2 заключается в том, что две длины находятся в независимых измерениях (как в трехмерном пространстве). Вы только что отменили Lx/Ly и потеряли информацию для своего размерного анализа (это вопрос по физике;-). Если бы кто-то сделал то же самое с зарядом/температурой, это было бы грубой ошибкой, но мы допускаем это из-за длины. Размерный анализ новее, чем локоть, поэтому старая несогласованность остается.
@PhilipOakley Если мы делим 2 длины, никого не волнует, идут ли они в одном направлении или нет, единицы измерения не привязаны к направлениям.
Любой, кто работает в оптике, определенно заботится об этом. Существует много измерений, в которых угол (радианы) является неотъемлемой частью их значения, и очень распространенной ошибкой, не обнаруживаемой проверкой размеров, является отсутствие части угла, двойной учет или неправильное применение.
Я сделал похожие пункты здесь , хотя мы немного различаемся в ваших пунктах 5-7 (пункт 7 размерно несовместим, потому что вы относитесь к $\theta$ в $s=r\theta$ как угол в радианах, в то время как я рассматриваю его как числовое, т. е. безразмерное, значение угла в радианах).

Сейвал · Answer 7

Причина, по которой был принят радиан, заключалась в том, что его легко соотнести с длиной окружности как 2*Pi, если радиус равен одной единице. Не существует такого понятия, как 360 градусов (раньше считалось ошибочным, что год состоит из 360 дней, поэтому они считали его 360). По текущей статистике это должно быть 365 1/4, но это не меняет расчеты, и результаты корректируются автоматически при расчете.

Вычислениями было легко управлять с помощью Пи, а не градусов, минут и секунд, и они оба взаимозаменяемы. Так что утешение стало традицией.

Кажется, я помню, когда считалось, что окружность нужно разделить на 400 "градусов", чтобы сделать навигацию чуть менее подверженной ошибкам. Как бы то ни было, пилоты должны просто «знать», что 7 и 25 — это противоположные концы взлетно-посадочной полосы, и быть очень осторожными, чтобы не перепутать 13 и 31.
Бабалоньоны начали 360 вещей, потому что у них не было полностью общей системы для работы с нецелыми числами, и им нравились базы, которые аккуратно делились множеством разных способов . У них также была довольно продвинутая астрономия, и они , конечно, знали, что год не состоит из 360 дней .
@dmckee: спасибо, что поправили меня этой ссылкой, но я делюсь тем, что когда-то читал в книге по дифференциальному исчислению. Книга «Введение в дифференциальное исчисление: систематические исследования с инженерией». Ульрих Л. Роде, Г.К. Джейн, Аджай К. Поддар, А.К. Гош, страница № 99 в последней сноске !!

Почему радианы более естественны, чем любые другие угловые единицы?

Зендмейлер

dmckee --- котенок экс-модератор

Филип Окли

Qмеханик

Эмилио Писанти

Сьорд Смит

Ответы (7)

Фабиан

Флорис

dmckee --- котенок экс-модератор

Ильмари Каронен

Филип Окли

любитель физики

Майк Данлави

суперкот

Майк Данлави

Альфред Центавр

Зендмейлер

Альфред Центавр

Зендмейлер

Альфред Центавр

Зендмейлер

Альфред Центавр

Рево

Филип Окли

Рево

Филип Окли

рянг

Сейвал

Майк Данлави

dmckee --- котенок экс-модератор

Сейвал