Квантовый аналог теоремы Лиувилля

Это тонко. Теоремы нет: квантовые потоки сжимаемы ( Moyal , 1949).

Я пойду за Ч. 0.12 нашей книги « Краткий трактат квантовой механики в фазовом пространстве», 2014 г.

Аналогом плотности Лиувилля классической механики является функция Вигнера в квантовой механике фазового пространства. Его эволюционное уравнение (обобщающее уравнение Лиувилля) имеет вид

$${\partial f \over \partial t} =\{\!\!\{H ,f\}\!\!\}~,$$ где двойные скобки (Мояля) указывают на известную квантовую модификацию скобок Пуассона с точки зрения $O(\hbar^2)$и служат для доказательства теоремы Эренфеста об эволюции ожидаемых значений.

Для любой функции фазового пространства$k(x,p)$без явной зависимости от времени,

$$\begin{eqnarray} \frac{d\langle k \rangle }{dt} &=& \int\! dx dp~ {\partial f \over \partial t} k \nonumber \\ &=& {1\over i\hbar} \int\! dx dp~ ( H\star f- f\star H)\star k \nonumber\\ &=& \int\! dx dp~ f \{\!\!\{k,H\}\!\!\} = \left \langle \{\!\!\{ k,H\}\!\!\} \right \rangle , \end{eqnarray}$$ где звездный продукт и его манипуляции подробно описаны в указанном тексте.

Мойал подчеркнул (обнаружил?), что его одноименное уравнение квантовой эволюции, приведенное выше, контрастирует с теоремой Лиувилля (бесстолкновительное уравнение Больцмана) для классических плотностей фазового пространства,

$${d f_{cl}\over dt}= {\partial f_{cl} \over \partial t} + \dot{x} ~\partial_x f_{cl} + \dot{p}~ \partial_p f_{cl} =0~.$$

В частности, в отличие от своего классического аналога, в целом,$f$ не течет как несжимаемая жидкость в фазовом пространстве , что лишает траектории физического фазового пространства смысла в этом контексте. (Только эволюция гармонического осциллятора в исключительных случаях является траекторной.)

Для произвольного региона$\Omega$около некоторой репрезентативной точки фазового пространства истечение не исчезает,

$$\begin{eqnarray} {d \over dt}\! \int_{\Omega}\! \! dx dp ~f&=& \int_{\Omega}\!\! dx dp \left ({\partial f \over \partial t}+ \partial_x (\dot{x} f) + \partial_p (\dot{p} f ) \right)\\ &= & \int_{\Omega}\! \!\! dx dp~ (\{\!\!\{ H,f\}\!\!\}-\{H,f\})\neq 0 ~.\nonumber \end{eqnarray}$$

То есть область фазового пространства не сохраняет во времени число точек, кишащих вокруг репрезентативной точки: точки диффундируют, вообще говоря, со скоростью O($\hbar^2$), без сохранения плотности квантовой квазивероятностной жидкости; и, наоборот, им не препятствуют сближение, в отличие от детерминированного (несжимаемого потока) поведения.

Тем не менее, для бесконечности$\Omega$охватывая все фазовое пространство , оба вышеприведенных поверхностных члена обращаются в нуль, что дает неизменную во времени нормализацию для ВФ.

The $O(\hbar^2)$высшие производные ВФ по импульсу, присутствующие в МП (но отсутствующие в ПБ — высшие пространственные производные, свидетельствующие о нелинейности потенциала), модифицируют поток Лиувилля в характерные квантовые конфигурации. Таким образом, области с отрицательной вероятностью, перемещающиеся влево, представляют собой потоки вероятности вправо и т. д. Потоки Вигнера представляют собой неопределенное поле, ср. Штойернагель и др., 2013 г.

Для гамильтониана$H=p^2/(2m)+V(x)$, приведенное выше эволюционное уравнение равносильно эйлеровому уравнению вероятностной транспортной непрерывности,

$$\frac{\partial f}{\partial t} +\partial_x J_x + \partial_p J_p=0~,$$ где, для $\mathrm{sinc}(z)\equiv \sin z/~ z$, поток в фазовом пространстве равен $$J_x=pf/m~ ,\\ J_p= -f \mathrm{sinc} \left( {\hbar \over 2} \overleftarrow {\partial _p} \overrightarrow {\partial _x} \right)~~ \partial_x V(x).$$
Добавлено примечание . Недавнее обсуждение/доказательство свойств нулей, сингулярностей и отрицательной плотности вероятности, а следовательно, и неизбежных нарушений теоремы Лиувилля в ангармонических квантовых системах см. в Kakofengitis et al, 2017 .

Квантово-механический аналог теоремы Лиувилля задается в терминах матрицы плотности $\rho$(см. https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix ) и состояния

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=\frac{i}{\hbar}\left[\rho,H\right]$$

Это немедленно дает нам теорему Эренфеста , которая утверждает, что для любого наблюдаемого$A$, ожидаемое значение$\langle A\rangle=\text{tr}(A\rho)$подчиняется уравнению

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle\left[A,H\right]\rangle$$

Что, вкратце, говорит о том, что математические ожидания подчиняются классическим уравнениям движения.