Как меняется распределение заряда со временем? (в классической электродинамике)

Знание тока и заряда не говорит вам о полях. И знание полей не говорит вам, как эволюционируют заряд и ток. Даже добавление массы каждого вида и скорости каждого вида и отношения заряда к массе каждого вида не полностью исправит это и все равно не скажет вам о полях.

Вместо этого у вас есть связанная система зарядов и полей. И все это нужно уточнить, а затем решить эволюцию взаимной системы. А континуальная версия, как известно, имеет катастрофы. И даже у дискретной версии есть проблемы с реакцией на излучение.

И иногда эти проблемы вызывают только небольшие проблемы и поэтому не имеют большого значения. Исторически это была проблема, и большинство людей отказались от нее, чтобы изучать квантовую электродинамику, они отказались от нее не потому, что решили ее. Таким образом, классическая электродинамика, как обычно делается, имела недостатки, и большинство людей просто отказались от нее, и это нормально, если нынешние пользователи знают об ограничениях.

Часто утверждается, что в классической электродинамике начальное распределение заряда вместе с начальным полем скорости определяет электрические и магнитные поля.

Я не знаю ни одного примера, чтобы кто-то, кроме вас, когда-либо говорил это. Но это неправда. Например, если бы у вас было два заряда, разделенных расстоянием в пять световых лет, один из них находился бы в покое все время.$t\lt t_0$а другой держится в покое для всех$t$с$|t-t_0-3\rm{yr}|\lt 1\rm{yr}$и в течение этого времени он был вынужден гармонически колебаться с фиксированной малой амплитудой и фиксированной частотой, скажем, частотой красного света.

Затем в$t=t_0$вы можете отпустить оба заряда, и они будут действовать точно так же, как два заряда, которые всегда находились в покое. Некоторое время. Фактически на год. И тогда излучение от первого заряда дойдет до второго заряда, и он начнет двигаться в описанном случае иначе, чем в том случае, когда они оба всегда находились в покое.

Они имели одинаковый начальный заряд и распределение тока при$t=t_0$но имели разные поля (поэтому эта часть не была правдой), а затем у них была разная эволюция (поэтому эта часть тоже не произошла).

В общем, есть много возможных полей при некотором начальном заряде и начальном токе. Например, без зарядов есть много возможных вакуумных решений Максвелла, и вы можете добавить любое из них к неоднородному решению Максвелла и получить другое решение Максвелла. Так много решений однородного Максвелла приводят к множеству решений неоднородного Максвелла.

Если вы хотите получить уникальное решение, вы должны использовать Ефименко или Лиенард-Вихерт, и оба потребуют знания всей прошлой истории, а не только начального заряда и начального тока.

которые, в свою очередь, однозначно определяют динамику указанного распределения (как оно изменяется во времени).

Даже если вы каким-то образом получили поля (например, вам их дали), то все это дает вам силу. Знание того, как силы определяют движения, нетривиально. Второй закон Ньютона уже сам по себе допускает несколько решений (таких как купол Нортона), а добавление заряженных частиц делает его еще более сложным из-за радиационной реакции и других осложнений.

Кроме того, вам понадобится либо масса различных видов заряженных частиц, либо другая подобная информация.

Так что любой сон, который вы могли бы просто иметь$\rho (\vec r,0)$и$\vec J(\vec r,0)$и получить динамику (получить$\rho (\vec r,t)$и$\vec J(\vec r,t)$) обречен из-за того, что поля не указаны (а для использования Ефименко и/или Лиенара-Вихерта требуется знание всего прошлого, а не только настоящего). И даже если бы у вас это было, динамика была бы нетривиальной из-за излучения и других эффектов, и вам понадобилась бы масса и все такое.

Таким образом, вам понадобится распределение массы и поле скоростей для каждого вида с фиксированным отношением заряда к массе. И тогда вам нужно будет либо указать поля (включая любые возможные вакуумные решения), либо вам потребуется предыстория для зарядов, включающая ускорения в прошлом. Или вам просто нужно было бы дать начальные поля. И даже тогда, когда у вас есть начальные поля, начальное распределение массы каждого вида и начальное поле скоростей каждого вида. Тогда вам придется иметь дело с взаимно связанной динамикой зарядов и полей, что нетривиально.

Если частица имеет крошечное отношение заряда к массе и нет других сил, то она движется в основном прямолинейно. Если у них огромное отношение заряда к массе, то линии могут сильно искривляться, и тогда более актуальной становится радиационная реакция и другие осложнения.

Это все вопросы, которые возникают для дискретных частиц. Итак, давайте перейдем к ситуации континуума. У всей жидкостной модели есть проблемы, и я буду ссылаться на «Несогласованность, асимметрию и нелокальность: философское исследование классической электродинамики» как на общий (несовершенный, но) источник многих проблем классической электродинамики. известная проблема, когда у вас есть сферическое распределение заряда, поэтому каждая оболочка вносит свой вклад только в электрическое поле внешних оболочек, и все может двигаться чисто радиально.И все же вы можете заставить начальные оболочки пересекаться друг с другом.

В целом это явление изучается в области, называемой теорией катастроф. Это просто техническое название. В основном это показывает, что жидкостная модель ломается. Жидкостная модель означает, что вы разбиваете пространство на области, и для каждой области вы назначаете вектор скорости, который описывает коллективное движение всех частиц этого вида. Затем вы берете группы регионов и имеете разные скорости для разных регионов в группе и фактически имеете что-то вроде векторного поля. Это нарушается, если частицы из одной области в конечном итоге пересекаются с частицами из другой области без смешивания.

Представьте себе разреженную группу автомобилей со скоростью 100 км/мин, направляющихся к редко припаркованной стоянке, когда они проезжают мимо, происходит катастрофа (хотя разреженность означает отсутствие столкновения, катастрофа — это технический термин, а не эмоциональный или разговорный термин), дело в том, что хотя автомобили одного вида, модель одной жидкости с одной скоростью не работает.

Частицы с низким отношением заряда к массе движутся очень прямолинейно. Если они разрежены и группа с высокой скоростью движется к группе с низкой скоростью, то они могут в основном пройти без изменений (разреженные, поэтому не приближайтесь, и имеют низкий заряд по отношению к массе, поэтому они действуют подобно пыли, газу без давления). , опять же пыль - это еще один технический термин, а не разговорное слово). Таким образом, позже быстрые должны выйти с другой стороны почти без изменений, и то же самое с медленным. Жидкостная модель попытается присвоить единую скорость всей коллекции в течение времени, когда они занимают одну и ту же область.

Это было бы хорошо, если бы они были достаточно плотными, чтобы взаимодействовать, и имели достаточно времени, чтобы сформировать общую коллективную скорость для каждой небольшой области.

Катастрофа теории жидкости возникает из-за непрерывной версии аналогичной проблемы: каждая оболочка выталкивается наружу, но с разной скоростью. Плотность заряда может варьироваться в радиальном направлении. Но площадь поверхности также различается на разных радиусах, и поэтому вы можете сделать так, чтобы внутренние поверхности ощущали более сильную силу, и, таким образом, существует совершенно нормальное радиальное распределение заряда и поле радиальной скорости, которое со временем развивается, чтобы иметь изначально меньший радиус. оболочка с начальной скоростью движется наружу, чтобы пересечь (достичь той же высоты), что и оболочка с изначально большим радиусом, и поэтому обе оболочки оказываются на одном и том же радиусе в одно и то же время (конечный промежуток времени), но с разными скоростями. Таким образом, теория жидкости не работает.

Таким образом, вы можете попытаться выдвинуть гипотезу о плотности силы, заданной выражением$\rho\vec E+\vec J\times\vec B$или ускорение, пропорциональное$\rho\vec E+\rho\vec v\times\vec B$где$\vec v$- значение поля скорости этого вида в этой точке, и пропорциональность зависит от отношения заряда к массе. Но так как само существование поля скоростей жидкости требует избежать катастрофы и вообще нельзя, то это безнадежная задача.

Но это не так безнадежно, исходная проблема была серьезной. Дело не в том, что второй закон Ньютона дает вам динамику. И закон силы Лоренца тоже фатально ошибочен.

Что люди делают, так это рассматривают ситуацию, когда эти недостатки приводят к минимально или несущественно неверным результатам, а затем они честно признают, что их предположения неверны в общей ситуации. Например, используя

$$m\vec a=q\vec E+q\vec v\times\vec B$$ не учитывает реакцию излучения, но во многих ситуациях этот отказ приводит лишь к небольшой неправильности. Если вы делаете вид, что это точный результат, то вы нечестны. Но часто вы просто пытаетесь сделать достаточно хороший прогноз для конкретной ситуации.

Некоторые люди решают вопросы радиационной реакции итеративно. Они используют предполагаемую экстраполяцию эволюции зарядов, чтобы найти поля, обусловленные этими зарядами и токами, а затем они используют эти поля, чтобы получить силы, действующие на частицы, а затем используют$\vec F=m\vec a$и закон силы Лоренца, чтобы попытаться получить новую предсказанную эволюцию заряда и новую предсказанную эволюцию тока. Затем из этих новых предсказаний заряда и этих новых текущих предсказаний они используют Максвелла, чтобы получить новые предсказания для полей.

А потом они повторяют: они используют новые поля, чтобы найти новые силы и получить еще более новые предсказания для заряда и тока. А затем используйте их, чтобы получить еще более новые прогнозы для будущих полей.

И затем они повторяют: они используют еще более новые поля, чтобы найти еще более новые силы и получить еще более новые предсказания заряда и тока.

И так далее, и так далее. Чередование 1) с использованием динамических зарядов, начальных полей и Максвелла для получения динамических полей поля и 2) с использованием динамических полей, начальных зарядов, начальных токов, масс и Лоренца для получения динамических зарядов и токов.

И дело не в поиске итерационных прогнозов на все более и более поздние времена. Речь идет о том, чтобы делать итерации предсказаний для всех будущих времен, даже для будущих времен на короткое время в будущем. И насколько я знаю, нет никакого результата, говорящего, что этот итеративный процесс сходится. Но во многих ситуациях, представляющих практический интерес, каждая из этих первых нескольких итераций приводила к очень небольшим поправкам, если первоначальная догадка была хорошей. И поэтому мы можем прекратить это после конечного числа и надеяться, что это достаточно хорошо для практики.

Это не удовлетворительная теоретическая основа, и люди, которые говорят вам, что классическая электродинамика, как обычно делается, является последовательной и прямой, ошибаются или активно лгут вам.

Это не просто, и то, как многие люди это делают, на самом деле математически непоследовательно. Делать вид, что это более совершенная теория, чем она есть на самом деле, опасно и неразумно, например, вы можете не предсказать излучение, вызванное сильным магнитным полем, изгибающим высокоскоростную заряженную частицу по кругу, что может привести к повреждению объектов и/или привести к травме или смерти. Вам нужно знать, когда вы используете теорию с ограничениями, чтобы вы могли обращаться с ней осторожно.

Учебники вручат вам игрушечную теорию в особой ситуации. Например, если вы достанете учебник с точечной частицей пробного заряда во внешнем поле, они запишут лагранжиан, который дает закон силы Лоренца, в виде уравнений Эйлера-Лагранжа, потому что они ожидают, что вам это понравится. Или они могут исправить лагранжиан для полей с фиксированным источником, а затем получить Максвелла как уравнения Эйлера-Лагранжа, потому что они ожидают, что вам это понравится.

И тогда вы можете притворяться$\vec F=m\vec a$это вещь, которая всегда работает, даже если известны примеры, где это не так. И тогда вы можете сделать вид, что знание внешнего поля и получение силы — это все, что вам нужно, и игнорировать излучение, вызванное частицей, ощущающей силу. Но это было бы игнорированием ограничений вместо того, чтобы принять их и иметь дело с ними.

Но на самом деле у вас есть начальные поля и начальные заряды, и вам нужно совместно эволюционировать и то, и другое. И это совершенно отдельный предмет, который не входит в стандартный учебник.

Если вы выбираете конкретную проблему, как это делают физики плазмы, то вы можете найти приблизительные решения, которые достаточно хороши для вашей конкретной ситуации. Это то, что почти все делают почти все время.

Конечно, это было бы сложнее. Одна из проблем заключается в том, является ли распределение заряда твердым или жидким. Если твердый (и небьющийся), это не так уж плохо. Используя методы интеграции в Джексоне, определите поля, а затем найдите общую силу и крутящий момент на вашем объекте. Если ваш объект не имеет большого заряда, стоит только поля из-за других зарядов.

Если жидкость, то это комбинация электродинамики и жидкости, называемая физикой плазмы.

Нижеследующее является лишь частичным ответом, так как нет «общего ответа», который был бы сложным для произвольного распределения зарядов (например, вам понадобится отношение заряда к массе частиц).

Если рассмотреть распределение заряда в проводящей среде, характеризуемое соотношением Ома$\overrightarrow{j(r)} = \overleftrightarrow{\sigma(r)} \, \overrightarrow{E(r)}$, с$\overleftrightarrow{\sigma(r)}$(локальной) тензорной проводимости среды, то можно использовать непрерывность заряда ($\frac{\partial \rho}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{j} = 0)$, а также уравнение Максвелла-Гаусса ($\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$), чтобы получить полное уравнение эволюции$\rho$, из которого можно (в принципе) получить эволюцию$\overrightarrow{E}$и$\overrightarrow{B}$.

Если ваша среда состоит из частиц с постоянным зарядом$q$, масса$m$и плотность$n(r,t)$+ несколько гипотез (нерелятивистские скорости, пренебрежимо малая задержка из-за распространения света, отсутствие излучения от ускоряющих зарядов), также можно написать уравнение, аналогичное гидродинамике:

$$\frac{\partial m (n(r,t) \overrightarrow{v}(r,t))}{\partial t} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\nabla} (m \, n(r,t) \overrightarrow{v}(r,t)) = q\, n(r, t)(\overrightarrow{E}(r,t) + \overrightarrow{v}(r,t) \times \overrightarrow{B}(r,t))$$

Это, в сочетании с уравнением непрерывности для$n(r,t)$и$\overrightarrow{j}(r,t)$(Обратите внимание, что$\overrightarrow{j}(r,t) = q n(r,t)$):

$$\frac{\partial q n(r,t)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot (q \, n(r,t) \overrightarrow{v(r,t)} )= 0,$$

так же хорошо как$4$Уравнения Максвелла, связанные$\overrightarrow{E}$,$\overrightarrow{B}$плотности заряда и токов, а также соответствующих начальных и граничных условий, даст вам полный набор дифференциальных уравнений, которые совершенно невозможно решить, кроме как в чрезвычайно упрощенных случаях. Но вы можете попробовать цифры!

В случае, когда ваш заряд и распределение тока изменяются достаточно медленно, чтобы находиться в квазистационарном состоянии, у вас даже есть явная формула для$\overrightarrow{E}$и$\overrightarrow{B}$, что делает проблему (абсолютно не) тривиальной:

$$\overrightarrow{E}(r,t) = - \overrightarrow{\nabla}_r \left(\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{n(r',t)}{|\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'}|} d^3r' \right), ~\mathrm{and}$$

$$\overrightarrow{B}(r,t) = \frac{q \mu_0}{4 \pi} \int \frac{n(r',t) \overrightarrow{v}(r',t) \times (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'})}{|\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'}|^3} d^3r'$$

Это недалеко от уравнений магнитогидродинамики и/или электродинамики, изучающих поведение проводящих и/или заряженных жидкостей. Добавив к этой и без того сложной проблеме вязкость, радиацию и так далее, вы сможете начать понимать, почему ее становится ужасно трудно решить...