Как можно формализовать, что аргумент, состоящий из истинного и ложного утверждений, является «частично верным»?

Один из путей, помимо подхода Хамберстоуна, может начаться с семантики создателя истины, разработанной Китом Файном и другими. Зафиксируем некоторый язык стандартной пропозициональной логики и возьмем модели как полные полурешетки соединений, индуцированные частичным порядком ≤. Тогда мы можем определить отношение точной верификации и отношение точной фальсификации по аналогии с некоторой семантикой для FDE, за исключением пункта проверки для конъюнкции: точка s верифицирует конъюнкцию A & B тогда и только тогда, когда s является супремумом точек r, t, где r подтверждает A, а t подтверждает B.

Основываясь на этом определении, мы можем определить отношение конъюнктивной части между предложениями (множествами точек): предложение p является конъюнктивной частью предложения q тогда и только тогда, когда каждый верификатор p имеет ≤-последователь среди верификаторов q и каждый верификатор q имеет ≤-предшественник среди верификаторов p.

Теперь мы можем сказать, что предложение p частично истинно в точке s, если оно имеет конъюнктивную часть, которая проверяется s; и что p частично ложно в s, если у него есть конъюнктивная часть, которая ложна s.

Это только частичный ответ, но достаточно интересно, что своего рода соединение, которое сделало бы «истину и ложь» «нейтральным», рассматривалось в трехзначных таблицах (и фактически [конечная] многозначная/нечеткая логика вообще ). Однако он (очевидно) не совместим с логическим. Из «Карты зависимостей среди трехзначных логик» Д. Чуччи и Д. Дюбуа.

2.1.3. t-операторы

Это еще одно обобщение t-норм на предупорядоченных множествах [ref42].

Определение 3 [ссылка 43]. Бинарный оператор * в конечной шкале {F < x ₁ < . . . < T} называется t-оператором, если он ассоциативен, коммутативен, такой, что F * F = F, T * T = T и удовлетворяет 1-гладкости: если x i * x j = x k _, то _{ x _i - ₁ * x _j , x _i * x _j-1 } ⊆ { x _k-1 , x _k }.

(Я исправил определение, ищущее исходную статью; в этом обзоре оно искажено некоторыми отсутствующими символами... но в остальном они дают несколько более очевидную форму, чем в оригинале, хотя и эквивалентны. По сути, t-оператор не- уменьшается в каждом месте и увеличивается не более чем на единицу по цепочке в каждом аргументе.)

Утверждение 4. На трехзначных шкалах имеется только пять t-операторов: конъюнкции и дизъюнкции Клини и Лукасевича и оператор агрегации в табл. 3.

Это имеет довольно тривиальную структуру в 3-значной цепочке: она дает значение пробела везде, кроме F * F и T * T.

Особенность оператора в таблице 3 состоит в том, что он не обобщает булевы связки: F и T дают третье значение N. На самом деле легко видеть, что это операция med(x, y, N), вычисляющая медиану между x, y и N. Известно, что это единственная ассоциативная операция между ∧ и ∨ и частный случай интеграла Сугено.

• [ref42] М. Мас, Г. Майор, Дж. Торренс, t-операторы, Международный журнал неопределенности, нечеткости и систем, основанных на знаниях, 7 (1) (1999) 31–50.

• [ссылка 43] М. Мас, Г. Майор, Дж. Торренс, t-операторы и унинормы на конечном полностью упорядоченном множестве, International Journal of Intelligent Systems 14 (1999) 909–922.

Таким образом, если кто-то хочет, чтобы «союз» с тремя значениями по-прежнему был коммутативным, ассоциативным и имел такого рода извлечение «частичной правды», это единственный вариант... Конечно, его можно получить как производный оператор для любого функционально полного 3-значная логика.