Как можно мотивировать релятивистский импульс?

Мотивация классического импульса p = m v п знак равно м v это довольно просто: оно предназначено для представления количества движения частицы, а поскольку масса является одной мерой количества вещества, оно должно быть пропорционально массе (сколько движется предмет) и должно быть пропорционально скорости (как быстро и куда он движется).

Теперь в специальной теории относительности импульс меняется. Новое количество движения становится

p = m v 1 - v 2 с 2 - - - - - - √ п знак равно м v 1 - v 2 с 2

Или, используя γ γ фактор Лоренца р = γ ( v ) m v п знак равно γ ( v ) м v где я пишу γ ( v ) γ ( v ) чтобы указать, что скорость - это скорость частицы относительно системы, в которой наблюдается движение.

Необходимость этого нового импульса заключается в том, что старый не удается сохранить и потому что использование старого во втором законе Ньютона приводит к закону, который не является инвариантным при преобразованиях Лоренца. Таким образом, потребность в новом импульсе совершенно мотивирована.

Я хотел бы знать, как можно мотивировать, что правильный выбор для п п это γ ( v ) m v γ ( v ) м v , Есть несколько аргументов, использующих массу: рассматривая столкновение, требующее сохранения импульса, измените скорость и затем найдите, как должна преобразовываться масса. Хотя эта работа, она не кажется естественной, и она получена в одном конкретном примере.

В моей книге есть даже то, что Эйнштейн сказал, что он не считает хорошей идеей попытаться преобразовать массу из м м в M = γ ( V ) м M знак равно γ ( v ) м что лучше было просто сохранить γ γ на новый импульс, не пытаясь объединить его с массой.

Поэтому я хотел бы знать: не прибегая к аргументам, основанным на трансформации массы, как можно мотивировать новую форму импульса, которая работает для специальной теории относительности?

Я использовал arxiv.org/abs/physics/0402024 вместо аргумента ограничения скользящего взгляда. Я не думаю, что это сработало ужасно для студентов, которым я его представил, но мне это нравится. Напомним, что авторы утверждают, что не использовали теорему рабочей энергии, но используется ее дифференциальный предел.
Мне приходит в голову, что ваш вопрос может быть проще, чем это. Что-то вроде «Как мне убедить студентов, что нам может понадобиться новое правило импульса?». В этом случае я говорю: «Изменение скорости - это то, что контролирует изменение импульса, но у нас уже есть новые правила композиции скорости, поэтому нам может понадобиться новое правило для эволюции импульса».

Ответы (3)

Я хотел бы знать, как можно мотивировать, что правильным выбором для p является γ (v) mv

В ньютоновской механике импульс частицы массы м м дан кем-то

р = м д р d T = м в п знак равно м d р d T знак равно м v

где р р вектор положения и T T это универсальный параметр. Однако в релятивистской механике T T является координатой, а не параметром, и, таким образом, является компонентом четырех вектора , четырехпозиционного R = ( c t , r ) р знак равно ( с T , р ) ,

Четыре скорости затем определяется как

U = d р d τ = д р d T d T d τ = д р d T γ = γ ( с , v ) U знак равно d р d τ знак равно d р d T d T d τ знак равно d р d T γ знак равно γ ( с , v )

где τ τ правильный параметр времени. По аналогии с ньютоновской механикой четырехимпульс

P = m U = γ м ( с , в ) п знак равно м U знак равно γ м ( с , v )

и тогда мы видим, что релятивистский импульс - это просто пространственная часть четырехимпульса.

Особая относительность о пространстве-времени Минковского. Элемент строки задается как

d s 2 = с 2 d T 2 - г Икс 2 - г Y 2 - г Z 2 d s 2 знак равно с 2 d T 2 - d Икс 2 - d Y 2 - d Z 2
Свободная частица будет двигаться по прямой линии, то есть она минимизирует длину пути
L = ∫ d s = ∫ с 2 ( д T d λ ) 2 - ( д Икс d λ ) 2 - ( д Y d λ ) 2 - ( д Z d λ ) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √   d λ L знак равно ∫ d s знак равно ∫ с 2 ( d T d λ ) 2 - ( d Икс d λ ) 2 - ( d Y d λ ) 2 - ( d Z d λ ) 2 d λ
где λ λ произвольная параметризация пути. Мы установили
я ( λ ) : = c 2 ( д T d λ ) 2 - ( д Икс d λ ) 2 - ( д Y d λ ) 2 - ( д Z d λ ) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ я ( λ ) знак равно с 2 ( d T d λ ) 2 - ( d Икс d λ ) 2 - ( d Y d λ ) 2 - ( d Z d λ ) 2

Уравнения Эйлера-Лагранжа дают:

d d λ ⎛ ⎝ ⎜ δ я δ ( д ( с т ) d λ ) ⎞ ⎠ ⎟ - δ я δ ( с т ) = 0 d d λ ( δ я δ ( d ( с T ) d λ ) ) - δ я δ ( с T ) знак равно 0
d d λ ⎛ ⎝ ⎜ δ я δ ( д Икс d λ ) ⎞ ⎠ ⎟ - δ я δ Икс = 0 d d λ ( δ я δ ( d Икс d λ ) ) - δ я δ Икс знак равно 0
и т.п.

Поэтому, если мы оценим дифференциалы и умножим на я я :

с д 2 T d λ 2 = 0 с d 2 T d λ 2 знак равно 0
- г 2 Икс d λ 2 = 0 - d 2 Икс d λ 2 знак равно 0
- г 2 Y d λ 2 = 0 - d 2 Y d λ 2 знак равно 0
- г 2 Z d λ 2 = 0 - d 2 Z d λ 2 знак равно 0

Теперь мы параметризируем по надлежащему времени d λ = d τ = 1 с d s d λ знак равно d τ знак равно 1 с d s , вводить Икс μ = ( c t , - x , - y , - z ) T Икс μ знак равно ( с T , - Икс , - Y , - Z ) T и умножить на м м , Это оставляет нас

м д 2 Икс μ d τ 2 = 0 м d 2 Икс μ d τ 2 знак равно 0
ковариантное уравнение движения свободной частицы, если объединить все 4 уравнения. С помощью
d τ = 1 с d s = 1 с с 2 d T 2 - г Икс 2 - г Y 2 - г Z 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ = 1 с d т с 2 - ( д Икс d T ) 2 - ( д Y d T ) 2 - ( д Z d T ) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ = д т 1 γ ( v ) d τ знак равно 1 с d s знак равно 1 с с 2 d T 2 - d Икс 2 - d Y 2 - d Z 2 знак равно 1 с d T с 2 - ( d Икс d T ) 2 - ( d Y d T ) 2 - ( d Z d T ) 2 знак равно d T 1 γ ( v )
выразить по системному времени T T , это равно:
d d T ( м ⋅ γ ( v ) ⋅ д Икс μ d T ) = ^ d d T ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ γ ( v ) c м с - m ⋅ γ ( v ) ⋅ д Икс d T - m ⋅ γ ( v ) ⋅ д Y d T - m ⋅ γ ( v ) ⋅ д Z d T ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ знак равно ^ d d T ( γ ( v ) c м с - m ⋅ γ ( v ) ⋅ v ⃗ ) = ( 0 0 ⃗ ) d d T ( м ⋅ γ ( v ) ⋅ d Икс μ d T ) знак равно ^ d d T ( γ ( v ) ⋅ м с - м ⋅ γ ( v ) ⋅ d Икс d T - м ⋅ γ ( v ) ⋅ d Y d T - м ⋅ γ ( v ) ⋅ d Z d T ) знак равно ^ d d T ( γ ( v ) ⋅ м с - м ⋅ γ ( v ) ⋅ v → ) знак равно ( 0 0 → )

Новые динамические величины п ⃗ = m ⋅ γ ( v ) ⋅ v ⃗ п → знак равно м ⋅ γ ( v ) ⋅ v → , который мы можем назвать импульсом, и Е с = γ ( v ) c м с Е с знак равно γ ( v ) ⋅ м с где Е Е это энергия.

Теперь можно попытаться добавить силы в правой части уравнения движения.

Короче говоря: если мы начнем с предположения о том, что свободная частица движется по прямой в пространстве Минковского, мы получим новые динамические величины п ⃗ п → и Е Е это можно использовать для описания свойств движения таким же образом, как они это делали в ньютоновской механике.

Если попытаться описать природу на основе тензоров, то количество γ ( v ) ⋅ м γ ( v ) ⋅ м не является «хорошей» величиной, так как она не трансформируется как тензор (например, скаляр). Однако количество м м и ( E с , р ⃗ ) T ( Е с , п → ) T являются тензорами (скалярный и контравариантный тензор первого ранга). Так что это «лучшие» величины по критерию.

Это аккуратно. Увы, ученик, которому я должен мотивировать этот материал, еще не видел механику Лагранжа или Гамильтона.
@dmckee: Может быть, вы могли бы мотивировать это тем, что, согласно принципу Ферма, свет проходит вдоль линии минимальной оптической длины пути . Это приводит к таким эффектам, как преломление, которые рассчитываются на той же основе. Возможно, это делает его немного более знакомым для ваших учеников.
Ну, вот как я мотивирую лагранжеву механику: сначала правило зеркала, а затем рефракция от принципа минимального времени (использование спасателя на пляже в качестве модели для преломления), но я не вижу начала долгой дискуссии, чтобы мотивировать мотивацию ,

Гамильтониан ЧАС ЧАС генерирует переводы времени и импульс п п генерирует космические переводы. В релятивистской теории время и пространство могут смешиваться, поэтому мы должны рассмотреть 4-вектор

п μ = ( H , р ) . п μ знак равно ( ЧАС , п ) ,
Теперь что бы п п с точки зрения массы, скорости и так далее, конечно, это 0 0 в кадре отдыха . Тогда, чтобы в любом кадре мог быть импульс, временная составляющая не может исчезать. Таким образом в кадре отдыха
п μ = ( м , 0 ) п μ знак равно ( м , 0 )
для некоторого количества м м , Повысьте общую рамку, чтобы сделать вывод, что
п μ = ( γ м , у м v ) . п μ знак равно ( γ м , γ м v ) ,
Сравнение с нерелятивистским пределом показывает, что м м это масса.

Как можно мотивировать релятивистский импульс?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности54y, 0v