Как можно объяснить это кажущееся противоречие между сохранением энергии и зависимостью КЭ от системы отсчета?

Есть несколько концептуальных ошибок.

• Вы предполагаете, что проделанная работа одинакова в обоих кадрах. Но и работа относительная. Один из способов увидеть это — отметить, что $$W = \int \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}\, dt.$$ Хотя два ваших наблюдателя согласны с$\mathbf{F}$, они не согласны$\mathbf{v}$, поэтому они не согласятся на$W$. В частности, на втором кадре пружина совершает над блоком отрицательную работу.
• Вы предполагаете, что изменение упругой потенциальной энергии равно изменению кинетической энергии бруска. Это неверно, потому что вы должны учитывать изменение кинетической энергии того, что находится на другом конце пружины.
• Один из ответов утверждает, что количество энергии, хранящейся в пружине, относительно. Это неправильно, и вы правы.

Если мы избавимся от этих проблем, ответ будет правильным. Допустим, блок имеет массу$m$, и прикреплен к большому объекту массой$M \gg m$на другом конце пружины. Рассмотрим вашего второго наблюдателя. В их системе начальная энергия равна

Думаю, Лука прав.

Мы должны помнить, что в движущейся системе сжатая пружина и блок (до отпускания пружины) также будут наблюдаться как движущиеся, и поэтому они уже будут обладать как кинетической, так и потенциальной энергией.

Эту первоначальную кинетическую энергию всегда можно вычесть из общей кинетической энергии, измеренной после отпускания пружины.

Результирующее количество кинетической энергии должно быть идентично тому, что было измерено неподвижным наблюдателем.

$(KE_{spring + block})_{before}+(PE_{spring + block})_{before}=(KE_{spring})_{after}+(KE_{block})_{after}$

Таким образом, хотя можно видеть, что блок движется медленнее или быстрее в движущейся системе отсчета, чем в неподвижной системе отсчета, на самом деле именно само движение системы отсчета должно корректировать «недостающую кинетическую энергию».

Можно показать, что этот же аргумент (с некоторыми основными модификациями) верен, даже если релятивистские эффекты значительны.

Я думаю, что вы делаете ложное замечание, основанное на двусмысленности определения закона Гука:

означает, что вы берете$\vec x\ $как сдвиг из положения покоя$\vec x_0\ $весны. В системе, в которой пружина покоится, это смещение такое же, как и$\vec s\ $в формуле работы

Теперь, когда вы вычисляете работу, выполненную в другой системе отсчета, вы не можете использовать эту формулу. В вашем примере, если наблюдатель движется к блоку (скажем, слева направо), он увидит, что он движется медленнее, поэтому он измерит свою КЭ в средней точке меньше, чем$\frac12 k x^2$, но блок в его системе отсчета сместился влево через некоторое время после отпускания пружины (его$v_0 < 0$в этой системе отсчета), поэтому работа, совершаемая пружиной в этой системе отсчета, будет отрицательной до тех пор, пока скорость блока не станет положительной, то есть до тех пор, пока скорость блока в статической системе отсчета не превысит скорость движущейся системы отсчета. Так что неудивительно, что его КЭ уступает: в подвижной системе отсчета пружина меньше работала над блоком. Что остается верным, так это то, что$\Delta K = L$: чтобы убедиться в этом, просто возьмите случай, в котором$\ v_R = \frac12 v_{MAX}$. Затем$\ v_0' = - v_{MAX}' \ $и$\Delta K' = 0$, но, как видно из интеграла,$L' = 0$слишком. (Я использую апостроф для движущейся системы отсчета)

согласно раме, движущейся со скоростью v, и блок, и пружина двигались со скоростью v в противоположном направлении, когда сила пружины действует на блок, она действует в направлении, противоположном направлению относительной скорости блока относительно рамы, движущейся со скоростью v. Теперь в ваша система отсчета, т. е. рамка, движущаяся со скоростью v, блок движется в направлении, противоположном консервативной силе пружины, действующей на него, и когда он, наконец, останавливается, его KE преобразуется в PE. Теперь, что касается вашей заданной энергии Q, По отношению к неподвижной раме это 1/2kx^2, так как блок движется в направлении силы пружины, но относительно рамы, движущейся со скоростью v it -Q, так как теперь работа, совершаемая пружиной над блоком, составляет -1/2kx^2.Точнее, в неподвижной раме начальная потенциальная энергия равна Q, которая переходит в кинетическую энергию блока, а в системе, движущейся со скоростью v, начальная потенциальная энергия пружины равна Q, а кинетическая энергия блока равна 1/2mv^2, эта кинетическая энергия равна переходит в потенциальную энергию пружины как работу силы пружины, т.е. консервативная сила в этой системе отрицательна.