Как найти g(r)g(r)g(r) из уравнения Орнштейна-Цернике для жидкости твердых сфер в приближении Перкуса-Йевика?

Question

Как найти g(r)g(r)g(r) из уравнения Орнштейна-Цернике для жидкости твердых сфер в приближении Перкуса-Йевика?

Физика
термодинамика
фаза перехода
критические явления
статистическая механика

мегаменция

Я читал эту статью Тиле [Дж. хим. физ. 39, 474 (1963)], который получил прямую корреляционную функцию $c(r)$ для системы твердых сфер с использованием приближения Перкуса-Йевика.

Мой вопрос в том, как мне найти $g(r)$ из этого?

В « Случайных гетерогенных материалах» Торквато он написал

\frac{п}{р к Т} "=" 1 + 2^{г - 1} η г_{2} (Д^{+})

$\frac{p}{\rho kT} = 1+2^{d-1}\eta g_2 (D^{+})$ где

g_{2} (D^{+})

$g_2(D^+)$ - контактное значение из правой части функции радиального распределения, а

η

$\eta$ – безразмерная приведенная плотность.

Через пару строк он утверждает, что для твердых сфер с помощью уравнения Орнштейна-Цернике мы можем переписать приведенное выше уравнение в терминах прямой корреляционной функции $c(r)$ как

\frac{п}{р к Т} "=" 1 + 2^{г - 1} η [с (Д^{+}) - с (Д^{-})]

$\frac{p}{\rho kT} = 1+2^{d-1}\eta [c(D^+)-c(D^-)]$

Как он приходит к такому выводу?

Орнштейн-Цернике утверждает, что

час (р_{12}) "=" с (р_{12}) + р \int г р_{3} с (р_{13}) час (р_{32})

$h(r_{12}) = c(r_{12}) + \rho \int d\mathbf{r}_3 c(r_{13})h(r_{32})$ который после преобразования Фурье становится

\hat{С} (к) "=" \frac{\hat{ЧАС} (к)}{1 + р \hat{ЧАС} (к)}

$\hat{C} (\mathbf{k}) = \frac{\hat{H}(\mathbf{k})}{1+\rho \hat{H}(\mathbf{k})}$

Однако я не вижу, как упростить это до второго уравнения, которое у него есть. Я был бы признателен за любой ваш совет.

Что я хочу сделать, так это свести в таблицу значения $g(r)$ , для разных значений $r$ больше чем $\sigma$ . С использованием $g(r)$ Я хочу рассчитать приведенную плотность, $p/\rho k T$ и сравните его со значениями, которые я получил от Стирлинга-Карнахана для приведенной плотности.

Ответы (1)

Как найти g(r)g(r)g(r) из уравнения Орнштейна-Цернике для жидкости твердых сфер в приближении Перкуса-Йевика?

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90 · Answer 1

Нахождение явного аналитического вида $g(r)$ для всех расстояний возможно, но не просто. Основной шаг заключается в решении Вертхайма ( Wertheim, MS (1963). Точное решение интегрального уравнения Перкуса-Йевика для твердых сфер . Physical Review Letters, 10(8), 321 ).

Однако, если проблема заключается только в контактном значении $g(r)$ , решение гораздо проще. Он основан на том, что, хотя $g(r)$ и $c(r)$ разрывны на расстоянии диаметра $r=\sigma$ , их разность должна быть непрерывной. Это тривиальное следствие уравнения Орнштейна-Цернике: $h(r)-c(r)$ есть свертка двух функций с разрывом в точке $\sigma$ . Таким образом, он должен быть непрерывным в $\sigma$ (возможным способом убедиться в этом является фурье-представление OZ, показывающее, что главный член асимптотического поведения $\hat{C} (\mathbf{k})$ и $\hat{H} (\mathbf{k})$ должно быть одинаково).

Поэтому, $g(\sigma^+)-g(\sigma^-)= c(\sigma^+)-c(\sigma^-)$ . Но с тех пор $g(\sigma^-)=0$ (основное состояние) и $c(\sigma^+)=0$ (приближение Перкуса-Йевика), исходя из знания $c(r)$ внутри сердечника можно получить контактное значение $g(r)$ .

Спасибо за ваш ответ @GiorgioP. Что я хочу сделать, так это свести в таблицу значения $g(r)$ , и посмотрите, как значение $g(r)$ ведет себя внутри ядра $r<\sigma$ . С использованием $g(r)$ Я хочу рассчитать приведенную плотность, $p/\rho k T$ и сравните его со значениями, полученными от Стерлинга-Карнахана. Я обновил вопрос.
@megamence Я не понимаю, что ты хочешь сделать. По конструкции, $g(r)$ соответствующее решению PY, равно нулю внутри ядра (это условие используется для получения формы $c(r)$ для $r<0$ ). С другой стороны, аргумента, который я привел выше, достаточно, чтобы получить $g(\sigma^+)=-c(\sigma^+)$ . Поэтому достаточно оценить $-c(\sigma^+)$ чтобы получить коэффициент сжимаемости $p/\rho k T$ .
Прошу прощения за путаницу, это было пару долгих дней. Я хочу найти функцию $r$ и посмотреть, как он ведет себя при разных значениях $\eta$ . Как только у меня есть $g(r)$ , я хочу вычислить приведенную плотность.
@megamence В статье Вертхайма, которую я цитировал, вы также можете найти выражение для $g(r)$ для $r>\sigma$ . Невозможно обсудить детали алгоритма и его реализации в комментарии, и даже конкретный вопрос, вероятно, будет считаться не по теме (как домашнее задание) на этом сайте.

Как найти g(r)g(r)g(r) из уравнения Орнштейна-Цернике для жидкости твердых сфер в приближении Перкуса-Йевика?

мегаменция

Ответы (1)

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

мегаменция

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

мегаменция

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

Можно ли полагаться на термодинамику в критической точке?

Если кипение воды связано с изменением внутренней энергии, то почему температура остается постоянной?

Вторая производная свободной энергии в критической точке перехода газ-жидкость

Насколько близко к критической точке достаточно близко для измерения критических показателей?

Можно ли нагреть парожидкостную смесь, пока она полностью не сконденсируется в жидкость?

Претерпевает ли воск резкий фазовый переход при плавлении?

Почему неаналитичность функции свободной энергии подразумевает фазовый переход? И какова его связь с другими свободными энергиями «более высокого уровня»?

Почему теплоемкость не расходится при фазовом переходе Костерлица-Таулесса (КТ)?

Фазовые переходы первого и второго рода