Как найти конкретное представление для гамма-матриц?

Один из вариантов — начать с матричного представления двух наборов сопряженных чисел Грассмана (см. предыдущую тему),$\theta_i, \pi_i$с$i=1,...,N$, такой, что

$\{\theta_i,\theta_j\}=0,\quad\{\pi_{i},\pi_{j}\} = 0, \quad \{\theta_i,\pi_j\} = \delta_{ij}$

Затем$2N$-мерная алгебра Клиффорда может быть построена с помощью

$\gamma_{i}=\theta_{i}+\pi_{i}\\ \gamma_{N+i}=i(\theta_{i}-\pi_{i})$

Учитывая приведенные выше антикоммутационные соотношения, несложно проверить, что$\{\gamma_{i},\gamma_{j}\}=2\delta_{ij}\mathbf{1}$. При нечетном числе измерений последнее$\gamma$-матрицу можно найти, рассматривая произведение

$\gamma_{2N+1} = i^N\prod_{i=1}^{2N}\gamma_{i} = i^N\gamma_{1}\gamma_2...\gamma_{2N}$

Чтобы получить представление алгебры Дирака$\{\gamma_{\mu},\gamma_\nu\}=2g_{\mu\nu}\mathbf{1}$с сигнатурой (+,-,-,...,-) просто поверните все матрицы в представлении, кроме одной, так, чтобы$\gamma_i\to i\gamma_i$(и немного переназначить).

Этот подход позволяет получить общие представления гамма-матриц из чисел Грассмана.

Однако существует другой вариант, а именно начать с представления алгебры Клиффорда в более низкой размерности (которое можно вычислить с помощью метода, описанного выше). Хорошо известным случаем низкоразмерного представления, которое также было известно Вейлю и Дираку, были бы матрицы Паули:

$\sigma_{1} = \left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right], \quad \sigma_{2} = \left[\begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix}\right], \quad \sigma_{3} = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right]$

Из этих матриц внешние произведения,$\rho_i = \mathbf{1}\otimes \sigma_i$и$\eta_i = \sigma_i \otimes \mathbf{1}$, можно сформировать. Тогда ясно, что$[\rho_i,\eta_j]=0$что позволяет выбрать пять матриц из набора$\{\rho_i,\eta_j,\rho_i\eta_j\}$которые выполняют алгебру Клиффорда.

Чтобы сделать этот подход немного более явным, рассмотрите возможность начать с диагональной матрицы из начального набора для простоты - давайте выберем$\rho_3$($\eta_3$был бы другой вариант). Это оставляет нам два потенциальных набора матриц, а именно$\{\rho_1,\rho_2\eta_1,\rho_2\eta_2,\rho_2\eta_3\}$и$\{\rho_{2},\rho_{1}\eta_{1},\rho_{1}\eta_{2},\rho_{1}\eta_{3}\}$. С$\rho_1$реально я выбираю первый набор, составляя матрицы:

$$\begin{align} \gamma_0 &= \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right] = \rho_3, &&\gamma_1 = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = i\rho_2\eta_1 \\ \gamma_2 &= \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = i\rho_2\eta_2, &&\gamma_3 = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = i\rho_2\eta_3\\ \gamma_5 &= \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = \rho_1 \end{align}$$

где я позволил себе повернуть три из них, как описано выше. Таким образом, находится представление Дирака. Обратите внимание, что на этом пути было сделано несколько выборов, но некоторые из них могут быть мотивированы поиском простого представления (выбор диагонального и/или действительного, когда это возможно).

Этот подход можно естественным образом обобщить и для создания представлений более высокой размерности.

Вот общее решение проблемы определения представлений гамма-матриц.

Представление гамма-матриц полностью определяется определением следующих пяти векторов состояния:

$$D_0 = D_{++} = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right],\;\;\; D_1 = D_{+-} = \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right],\;\;\; D_2 = D_{-+} = \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right],\\ D_3 = D_{--} = \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right],\;\;\;\;\; V = \left[\begin{matrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 1/2 \\ 1/2 \end{matrix}\right].\\ $$

Причина, по которой эти состояния называются состояниями «D» и «V», заключается в том, что матрицы плотности первых четырех являются диагональными, а последнее является примером того, что Швингер назвал «вакуумом» в одной из своих статей по алгебре измерений Швингера. . Я дал два обозначения для D_xx, чтобы упростить вывод.

Четыре диагональных состояния определяются «Полным набором коммутирующих наблюдаемых». Этой информации как раз достаточно, чтобы определить квантовое состояние. В случае гамма-матриц Дирака полный набор коммутирующих наблюдаемых будет иметь две (разные) наблюдаемые, которые оказываются «корнями из единицы». То есть две наблюдаемые$P$и$Q$должны удовлетворить:

$$PP = QQ = 1,\;\;P\;\textrm{not equal to}\;Q ,\;\;\textrm{and}\;\; PQ = QP,$$

ни равным 1 или -1. Примером двух элементов гамма-алгебры, удовлетворяющих этим требованиям, являются

$$P = \gamma^3\gamma^0,\;\;Q = i\gamma^1\gamma^2$$

Игнорируя знаки, существует шестнадцать возможных произведений гамма-матриц:

$$\{1,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^1\gamma^2, ... \gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^0\}$$

Чтобы использовать один из них как корень из единицы, мы должны сделать его квадратным к +1. Так что, если он возводится в квадрат вместо -1, просто умножьте его на i. Мы не можем использовать 1 как$P$, поэтому после преобразования приведенного выше в корни из единицы у нас есть 15 вариантов для$P$.

Как только мы выберем$P$, осталось 14 корней из единицы. Из них только шесть будут ездить с$Q$так что мы можем выбрать один из этих шести. И выбрав$P$и$Q$, их продукт$PQ=QP$также будет корнем единства, который коммутирует с$P$и$Q$. Итак, в дополнение к$\{P,Q\}$, мы могли бы также выбрать$\{P,PQ\}$или$\{Q,PQ\}$и закончилось тем же представлением.

Далее нам нужно выбрать$V$. Это единственное состояние, которое является «дополнительным состоянием» к нашему полному набору коммутирующих наблюдаемых. Это основная концепция квантовой механики; обычный пример - положение и импульс. Требование состоит в том, чтобы переходные вероятности между состояниями$V$и$D_n$состояния должны быть одинаковыми.

Фактически,$V$государство легко выбрать. Из 16 произведений гамма-матриц одно было тривиальным (т.е. 1), а три —$\{P,Q,PQ\}$. Остальные 12 продуктов являются дополнительными наблюдаемыми. Все, что нам нужно сделать, это выбрать два из них, которые различны и коммутируют. Позвони им$R$и$S$. Мы можем выбрать$R$совершенно бесплатно из этих 12 продуктов. После выбора$R$, будет четыре варианта$S$и, как и прежде, они будут приходить парами, поэтому на самом деле есть только два варианта. Тогда$V$состояние будет принимать +1 или -1 в качестве собственных значений по отношению к$R$и$S$так с$R$и$S$в руке будет четыре варианта для$V$.

Все становится проще, если мы запишем их в чистой форме матрицы плотности. Если мы используем собственные значения +1 для состояния$V$, его чистое состояние матрицы плотности будет:

$$\rho_V = (1+R)(1+S)/4 =\frac{1}{4}\left[\begin{matrix} 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \end{matrix}\right]$$

Теперь мы можем записать четыре (чистые) матрицы плотности, соответствующие$D_n$как:

$$\rho_{D++} = (1+P)(1+Q)/4\\ \rho_{D+-} = (1+P)(1-Q)/4\\ \rho_{D-+} = (1-P)(1+Q)/4\\ \rho_{D--} = (1-P)(1-Q)/4\\$$

При записи в представлении вышеперечисленное должно быть диагональной матрицей, каждая с одной единицей на диагонали и остальными нулями.

Точно так же мы можем выбрать матричный элемент nm представления путем умножения матриц плотности формы:

$$M_{nm} = \rho_{Dn}\;\rho_V\;\rho_{Dm}$$

Например:

$$M_{02} = \rho_{D0}\;\rho_V\;\rho_{D2}$$ что в представлении явно: $$\frac{1}{4}\left[\begin{matrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right]= \frac{1}{4}\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right]$$

Поскольку теперь мы знаем, какие элементы алгебры представляют конкретное место в матрице, мы можем прочитать представление, увидев, какие элементы алгебры вносят вклад в какие элементы матрицы. Например, если$\gamma_0$появляется в$M_{02}$, то представление$\gamma_0$будет иметь 1 в позиции (0,2).

Как оказалось, недавно я занимался исследованием гамма-матриц и написал приложение с использованием Java, которое позволяет пользователю выполнять описанные выше шаги, нажимая кнопки в графическом пользовательском интерфейсе. Он показывает результирующее представление, и вы также можете показать результаты для других продуктов гамма-матриц, таких как$i\gamma^1\gamma^2$. Я вставил некоторые предустановки, чтобы вы могли получить стандартные представления гамма-матрицы одним нажатием клавиши, и нашел этот вопрос, используя поисковую систему, чтобы найти больше случаев. Я свяжу это, когда это будет сделано.

Кроме того, следует отметить, что приведенное выше явно описывает только представления, которые представляют произведения гамма-матриц как матрицы, 16 элементов которых включают четыре комплексные фазы и 12 нулей. Поворотами и бустами можно получить более общие представления.